高考数学（江苏专用，理科）二轮专题复习 专题二 第3讲.docVIP

第3讲　平面向量 考情解读　(1)平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查． (2)平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力． 1．平面向量中的五个基本概念 (1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为eq \f(a,|a|). (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影． 2．平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底． 3．平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 4．平面向量的三个性质 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x2＋y2). (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2). (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))). 热点一　平面向量的概念及线性运算 例1　(1)(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) (2)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若eq \o(OC,\s\up6(→))＝meq \o(OA,\s\up6(→))＋neq \o(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1,0) 思维启迪　(1)根据平面向量基本定理解题．(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与eq \o(OC,\s\up6(→))＝meq \o(OA,\s\up6(→))＋neq \o(OB,\s\up6(→))对应． 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2)． (2)依题意，由点D是圆O外一点，可设eq \o(BD,\s\up6(→))＝λeq \o(BA,\s\up6(→))(λ>1)，则eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))＋λeq \o(BA,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up6(→)). 又C，O，D三点共线，令eq \o(OD,\s\up6(→))＝－μeq \o(OC,\s\up6(→))(μ>1)， 则eq \o(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(λ,μ)eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \f(1－λ,μ)eq \o(OB,\s\up6(→))(λ>1，μ>1)， 所以m＝－eq \f(λ,μ)，n＝－eq \f(1－λ,μ). 故m＋n＝－eq \f(λ,μ)－eq \f(1－λ,μ)＝－eq \f(1,μ)∈(－1,0)．故选D. 思维升华　对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆．如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现． 　(1)(2014·陕西)设0<θ<eq \f(π,2)，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________. (2)如图，在△ABC中，AF＝eq \f(1,3)AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若eq