高考数学（江苏专用，理科）二轮专题复习 专题七 第2讲.docVIP

第2讲　数形结合思想 1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： (1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应． (2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． (3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线． 3．数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围． (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围． (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系． (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式． (5)构建立体几何模型研究代数问题． (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题． (7)构建方程模型，求根的个数． (8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： (1)准确画出函数图象，注意函数的定义域． (2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解. 热点一　利用数形结合思想讨论方程的根 例1　(2014·山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，eq \f(1,2)) B．(eq \f(1,2)，1) C．(1,2) D．(2，＋∞) 答案　B 解析　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示， 当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为eq \f(1,2)，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(eq \f(1,2)，1)． 思维升华　用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数． 　设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c，x≤0，,2， x0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2， 解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋2，x≤0，,2， x0.)) 作出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋2，　　x≤0，,2， x0))与y＝x的图象，如图， 由图知交点个数有3个，故选C. 热点二　利用数形结合思想解不等式、求参数范围 例2　(1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x·f(x)0的x的取值范围是________． (2)若不等式|x－2a|≥eq \f(1,2)x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________． 答案　(1)(－1,0)∪(0,1)　 (2)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 解析　(1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)0的x的取值范围是(－1,0)∪(0,1)． (2) 作出y＝|x－2a|和y＝eq \f(1,2)x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤eq \f