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重点强化课(一) 函数的图像与性质
(对应学生用书第26页)
[复习导读] 函数是中学数学的核心概念,函数的图像与性质既是中学数学教学的重点,又是高考考查的重点与热点,题型以选择题、填空题为主,既重视三基,又注重思想方法的考查,备考时,要透彻理解函数,尤其是分段函数的概念,切实掌握函数的性质,并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识.
重点1 函数图像的应用
已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos πx,x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))),,2x-1,x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞)),))则不等式f(x-1)≤eq \f(1,2)的解集为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4),\f(2,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3),\f(7,4)))
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,4),-\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4),\f(2,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(3,4)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3),\f(7,4)))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,4),-\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(3,4)))
A [画出函数f(x)的图像,如图,
当0≤x≤eq \f(1,2)时,令f(x)=cos πx≤eq \f(1,2),解得eq \f(1,3)≤x≤eq \f(1,2);
当x>eq \f(1,2)时,令f(x)=2x-1≤eq \f(1,2),解得eq \f(1,2)<x≤eq \f(3,4),
故有eq \f(1,3)≤x≤eq \f(3,4).
因为f(x)是偶函数,所以f(x)≤eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,4),-\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(3,4))),故f(x-1)≤eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4),\f(2,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3),\f(7,4))).]
[母题探究1] 在本例条件下,若关于x的方程f(x)=k有2个不同的实数解,求实数k的取值范围.
[解] 由函数f(x)的图像(图略)可知,当k=0或k1时,方程f(x)=k有2个不同的实数解,即实数k的取值范围是k=0或k1.
[母题探究2] 在本例条件下,若函数y=f(x)-k|x|恰有两个零点,求实数k的取值范围.
[解] 函数y=f(x)-k|x|恰有两个零点,即函数y=f(x)的图像与y=k|x|的图像恰有两个交点,借助函数图像(图略)可知k≥2或k=0,即实数k的取值范围为k=0或k≥2.
[规律方法] 1.利用函数的图像研究函数的性质,一定要注意其对应关系,如:图像的左右范围对应定义域,上下范围对应值域,上升、下降趋势对应单调性,对称性对应奇偶性.
2.有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图像的交点个数;利用此法也可由解的个数求参数值或范围.
3.有关不等式的问题常常转化为两个函数图像的上、下关系来解.
图1
[对点训练] 已知函数y=f(x)的图像是圆x2+y2=2上的两段弧,如图1所示,则不等式f(x)f(-x)-2x的解集是________. 【导学号
(-1,0)∪(1,eq \r(2)] [由图像可知,函数f(x)为奇函数,
故原不等式可等价转化为f(x)-x,在同一直角坐标系中分别画出y=f(x)与y=-x的图像,由图像可知不等式的解集为(-1,0)∪(1,eq \r(2)].]
重点2 函数性质的综合应用
角度1 单调性与奇偶性结合
(1)(2017·石家庄质检(二))下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=eq \f(1,x) B.y=lg x
C.y=|x|-1 D.y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|
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