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考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件
(1)理解命题的概念.
(2)了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
一、命题及其关系
1.命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.
2.四种命题及其关系
(1)四种命题
命题
表述形式
原命题
若p,则q
逆命题
若q,则p
否命题
若,则
逆否命题
若,则
(2)四种命题间的关系
(3)常见的否定词语
正面词语
=
()
是
都是
任意(所有)的
任两个
至多有1(n)个
至少有1个
否定词
()
不是
不都是
某个
某两个
至少有2(n+1)个
1个也没有
3.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动.
二、充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件的概念
(1)若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
(2)若p?q且qp,则p是q的充分不必要条件;
(3)若pq且q?p,则p是q的必要不充分条件;
(4) 若p?q,则p是q的充要条件;
(5) 若pq且qp,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.必记结论
(1)等价转化法判断充分条件、必要条件
①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件;
②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件;
③p是q的充要条件是的充要条件;
④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
(2)集合判断法判断充分条件、必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即p:A={x|p(x) },q:B={x|q(x) },则
①若,则p是q的充分条件;
②若,则p是q的必要条件;
③若,则p是q的充分不必要条件;
④若,则p是q的必要不充分条件;
⑤若,则p是q的充要条件;
⑥若且,则p是q的既不充分也不必要条件.
考向一 四种命题的关系及其真假的判断
四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点,多以选择题的形式出现,难度一般不大,往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下:
1.判断四种命题间关系的方法
①由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.
②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性,解题时注意灵活应用.
2.命题真假的判断方法
①给出一个命题,要判断它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明它是假命题,则只需举一反例即可.
②由于原命题与其逆否命题为等价命题,有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.
典例1 命题若,则;是的逆命题,则
A.真,真 B.真,假
C.假,真 D.假,假
【答案】C
1.已知命题p:“若a,b,m为任意的正数,则b+ma+mba”,则能够说明
典例2 命题“若,则”的逆否命题是
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】C
【解析】命题“若,则”的逆否命题是“若,则”,故命题“若,则”的逆否命题是若,则 ,故选C.
【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定.
2.下列说法正确的是
A.“若,则”的否命题是“若,则”
B.“若,则”的逆命题为真命题
C.,使成立
D.“若,则”是真命题
考向二 充分、必要条件的判断
充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点,多以选择题形式出现,作为载体,考查知识面广,常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下:
1.命题判断法
设“若p,则q”为原命题,那么:
(1)原命题为真,逆命题为假时,则p是q的充分不必要条件;
(2)原命题为假,逆命题为真时,则p是q的必要不充分条件;
(3)当原命题与逆命题都为真时,则p是q的充要条件;
(4)当原命题与逆命题都为假时,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.集合判断法(同必记结论)
3.等价转化法(同必记结论)
典例3 设a,b是两条不同的直线,α是平面,a?α,b?α,则“a//b”是“a//α”成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分
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