模、夹角（人教A版必修4）.docVIP

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量数量积（内积）的定义： 2．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a 3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或 4?cos? = ； 5?|a?b| ≤ |a||b| 3．练习： （1）已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ） A.60° B.30° C.135° D.４５° （2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ） A.2 B.2 C.6 D.12 二、讲解新课： 探究：已知两个非零向量，，怎样用和的坐标表示？. 1、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 2. 平面内两点间的距离公式 （1）设，则或. （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、， 那么(平面内两点间的距离公式) 向量垂直的判定 设，，则 两向量夹角的余弦（） cos? = 二、讲解范例： 例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(?2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， ?7)，b = (?6， ?4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o) 分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少? 分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１） 有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２． 记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 三、课堂练习：1、P107面1、2、3题 2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= . 四、小结： 1、 2、平面内两点间的距离公式 3、向量垂直的判定： 设，，则 五、课后作业：《习案》作业二十四。 思考： 1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求点B和向量的坐标. 解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x?5， y?2) ∵? ∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x2 + y2 ?5x ? 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2即：10x + 4y = 29 由 ∴B点坐标或；=或 2 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值. 解：当A = 90?时，?= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 当B = 90?时，?= 0，=?= (1?2， k?3) = (?1， k?3) ∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k = 当C = 90?时，?= 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k =