高三理科数学二轮复习必考问题专项突破 17 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题.docVIP

17　与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题 1．(2011·新课标全国)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．18 B．24 C．36 D．48 答案： C　[不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝eq \f(p,2).代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝eq \f(1,2)×6×12＝36.] 2．(2011·山东)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)． A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案：C　[∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2. 由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4＜y0＋2，∴y0＞2.] 3．(2010·福建)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则Oeq \o(P,\s\up6(→))·Feq \o(P,\s\up6(→))的取值范围为(　　)． A．[3－2eq \r(3)，＋∞) B．[3＋2eq \r(3)，＋∞) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，＋∞)) 答案：B　[如图，由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3， ∴双曲线方程为eq \f(x2,3)－y2＝1. 设P(x，y)(x≥eq \r(3))， Oeq \o(P,\s\up6(→))·Feq \o(P,\s\up6(→))＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2 ＝x2＋2x＋eq \f(x2,3)－1＝eq \f(4,3)x2＋2x－1(x≥eq \r(3))． 令g(x)＝eq \f(4,3)x2＋2x－1(x≥eq \r(3))，则g(x)在[eq \r(3)，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g(eq \r(3))＝3＋2eq \r(3).∴Oeq \o(P,\s\up6(→))·Feq \o(P,\s\up6(→))的取值范围为[3＋2eq \r(3)，＋∞)．] 4．(2012·浙江)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________. 解析　因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为eq \f(|0－?－4?|,\r(2))－ eq \r(2)＝2 eq \r(2)－eq \r(2)＝eq \r(2)，则曲线C1与直线l不能相交，即x2＋a＞x，∴x2＋a－x＞0. 设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)， 则点(x0，y0)到直线l的距离d＝eq \f(|x0－y0|,\r(2))＝eq \f(－x0＋x\o\al(2,0)＋a,\r(2))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(1,2)))2＋a－\f(1,4),\r(2))≥eq \f(4a－1,4 \r(2))＝eq \r(2)，所以a＝eq \f(9,4). 答案　eq \f(9,4) 本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大． 复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值. 必备知识 有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以