第2章基本初等函数（1）2.示范教案（1.2 指数函数及其性质 第2课时）.docVIP

第2课时 指数函数及其性质(2) 导入新课 思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题. 思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2). 应用示例 思路1 例1已知指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值. 活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价. 解：因为图象过点（3,π）, 所以f(3)=a3=π,即a=π,f(x)=(π)x. 再把0,1,3分别代入,得 f(0)=π0=1, f(1)=π1=π, f(-3)=π-1=. 点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用. 例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性. 活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写. 证法一：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则 y2－y1=ax2－ax1=ax1（ax2-x1－1）. 因为a＞1,x2－x1＞0，所以ax2-x1＞1,即ax2-x1－1＞0. 又因为ax1＞0, 所以y2－y1＞0, 即y1<y2. 所以当a＞1时,y=ax,x∈R是增函数. 同理可证,当0＜a＜1时,y=ax是减函数. 证法二：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则y2与y1都大于0,则==a. 因为a＞1,x2－x1＞0,所以a＞1, 即>1,y1<y2. 所以当a＞1时,y=ax,x∈R是增函数. 同理可证,当0＜a＜1时,y=ax是减函数. 变式训练 若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的范围是多少？ 答案：＜a＜1. 例3截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 活动：师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题： 1999年底 人口约为13亿; 经过1年 人口约为13（1+1%）亿; 经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿; 经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿; 经过x年 人口约为13(1+1%)x亿; 经过20年 人口约为13(1+1%)20亿. 解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则 y=13(1+1%)x, 当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿). 答：经过20年后,我国人口数最多为16亿. 点评：类似此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间x后总量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)x等形如y=kax(k∈R,a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数. 思路2 例1求下列函数的定义域、值域： (1)y=0.4;(2)y=3;(3)y=2x+1;(4)y=. 解：（1）由x-1≠0得x≠1,所以所求函数定义域为{x|x≠1}.由x≠得y≠1, 即函数值域为{y|y>0且y≠1}. （2）由5x-1≥0得x≥,所以所求函数定义域为{x|x≥}.由≥0得y≥1, 所以函数值域为{y|y≥1}. （3）所求函数定义域为R，由2x>0可得2x+1>1. 所以函数值域为{y|y>1}. (4)由已知得：函数的定义域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2. 因为y≠1,所以2x=.又x∈R,所以2x>0,>0.解之,得-2<y<1. 因此函数的值域为{y|-2<y<1}. 点评：通过此例题的训练,学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性. 变式训练 求函数y=()的定义域和值域. 解：要使函数有意义,必须x+3≠0,即x≠-3，即函数的定义域是{x|x≠-3}. 因为≠0,所以y=()≠()0=1. 又因为y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞). 例2 （1）求函数y=()的单调