新教材素养突破人教A版数学必修第一册讲义：第五章 三角函数 5.5.1.2含答案.docVIP

第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 最新课程标准：能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式. 知识点一　两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，简记为C(α＋β)，使用的条件为α，β为任意角． 知识点二　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝ sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R 两角差 的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝ sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R eq \x(状元随笔)　公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系． C(α＋β)eq \o(――→,\s\up7(以－β代β))C(α－β)eq \o(――→,\s\up7(诱导公式))S(α－β)eq \o(――→,\s\up7(以－β代β))S(α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律． 对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”． 对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)， sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)， cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)， cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． 知识点三　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正切 tan(α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) T(α＋β) α，β，α＋β≠ kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 两角差 的正切 tan(α－β)＝ eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β ) T(α－β) α，β，α－β≠ kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) eq \x(状元随笔)　公式T(α±β)的结构特征和符号规律 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和． (2) 　 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． [教材解难] 1．教材P217思考 能．例如把－β代入β由C(α－β)可求出C(α＋β)． 2．教材P219思考 成立．方法一：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))或coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)). 方法二：由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq \f(π,4)cos α－coseq \f(π,4)sin α ＝eq \f(\r(2),2)(cos α－sin α)， coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq \f(π,4)cos α－sineq \f(π,4)sin α＝eq \f(\r(2),2)(cos α－sin α)， 故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)). [基础自测] 1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin105°等于(　　) A．0　　　　　　　　　　B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．1 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D 2．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sin α＝eq \f(3,5)，则eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝(　　) A.eq \f(7,5) B.eq \f(1,5) C．－eq \f(7,5)