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学案11 函数与方程
导学目标: 1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似值.
自主梳理
1.函数零点的定义
(1)对于函数y=f(x) (x∈D),把使________成立的实数x叫做函数y=f(x) (x∈D)的零点.
(2)方程f(x)=0有实根?函数y=f(x)的图象与____有交点?函数y=f(x)有________.
2.函数零点的判定
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有____________,那么函数y=f(x)在区间________内有零点,即存在c∈(a,b),使得________,这个____也就是f(x)=0的根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.
3.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点
________,
________
________
无交点
零点个数
________
________
________
4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步,确定区间[a,b],验证________________,给定精确度ε;
第二步,求区间(a,b)的中点c;
第三步,计算______:
①若________,则c就是函数的零点;
②若________,则令b=c[此时零点x0∈(a,c)];
③若________,则令a=c[此时零点x0∈(c,b)];
第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.
自我检测
1.(2010·福建)f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2+2x-3,x≤0,-2+ln x x>0))的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若函数y=f(x)在R上递增,则函数y=f(x)的零点 ( )
A.至少有一个 B.至多有一个
C.有且只有一个 D.可能有无数个
3.如图所示的函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )
A.①② B.①③
C.①④ D.③④
4.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间是 ( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
5.(2011·福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是 ( )
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(x-0.5)
探究点一 函数零点的判断
例1 判断函数y=ln x+2x-6的零点个数.
变式迁移1 (2011·烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是 ( )
A.多于4个 B.4个
C.3个 D.2个
探究点二 用二分法求方程的近似解
例2 求方程2x3+3x-3=0的一个近似解(精确度0.1).
变式迁移2 (2011·淮北模拟)用二分法研究函数f(x)=x3+lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))的零点时,第一次经计算f(0)<0,>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.以上横线上应填的内容为 ( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))) B.(0,1) feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))
探究点三 利用函数的零点确定参数
例3 已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.
变式迁移3 若函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞
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