2022版高考人教版数学一轮学案：第八章第三讲　圆的方程含解析.docVIP

第三讲　圆的方程 知识梳理·双基自测 eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理) 知识点一　圆的定义及方程 定义 平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的集合(轨迹)叫做圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C：__(a，b)__ 半径：__r__ 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0 圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) 半径：r＝__eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)__ 知识点二　点与圆的位置关系 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)， (1)(x0－a)2＋(y0－b)2__＝__r2?点在圆上； (2)(x0－a)2＋(y0－b)2__＞__r2?点在圆外； (3)(x0－a)2＋(y0－b)2__＜__r2?点在圆内． eq \x(归)eq \x(纳)eq \x(拓)eq \x(展) 1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上． 2．圆心在任一弦的垂直平分线上． 3．两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 4．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(公式推导：设圆上任一点P(x，y)，则有kPA·kPB＝－1，由斜率公式代入整理即可)． eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测) 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　√　) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．(　√　) (3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(　×　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx＋Ey＋F＞0．(　√　) (5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(　×　) 题组二　走进教材 2．(必修2P124A组T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝10 [解析]　设圆心坐标为C(a,0)， ∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上， ∴|CA|＝|CB|， 即eq \r(?a＋1?2＋1)＝eq \r(?a－1?2＋9)，解得a＝2， ∴圆心为C(2,0)， 半径|CA|＝eq \r(?2＋1?2＋1)＝eq \r(10)， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10． 3．(必修2P132A组T3)以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　C A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 [解析]　因为圆心(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝eq \f(|6＋4＋5|,5)＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9．故选C． 题组三　走向高考 4．(2019·北京高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__(x－1)2＋y2＝4__． [解析]　∵抛物线的方程为y2＝4x，∴其焦点坐标为F(1,0)，准线l的方程为x＝－1．又∵圆与直线l相切，∴圆的半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋y2＝4． 5．(2020·高考全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　B　) A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(2\r(5),5) C．eq \f(3\r(5),5) D．eq \f(4\r(5),5) [解析]　设圆心为P(x0，y0)，半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点(2,1)，∴x0＝y0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2，∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5．①r＝1时，圆心P(1,1)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|2－1－3|,\r(22＋?－1?2))＝eq \f(2\r(5),5)；②r＝5时，圆心P(5,5)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|10－5－3|,\r(22＋?－1?2))＝eq \f(2\r(5),5)．故选B． 考点突破·互动探究 考点一　求圆的方程——自主练透 例1 (1)(2021·海南海口二中模拟)已知圆M与直线3x－