高考数学一轮复习学案（北师大版理科）： 第1章 集合与常用逻辑用语 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件学案 理 北师大版.docVIP

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件 [考纲传真]　(教师用书独具)1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． (对应学生用书第3页) [基础知识填充] 1．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 图1-2-1 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 2．充分条件与必要条件 (1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若p?q，且eq \o(?,/)p，则p是q的充分不必要条件； (3)若peq \o(?,/)q且q?p，则p是q的必要不充分条件； (4)若p?q，则p是q的充要条件； (5)若peq \o(?,/)q且qeq \o(?,/)p，则p是q的既不充分也不必要条件． [知识拓展]　集合与充要条件 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有： (1)若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件． (2)若B?A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x2＋2x－30”是命题．(　　) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．(　　) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(　　) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (5)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　) [解析]　(1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论． (3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q是p的必要条件说明p?q，所以p是q的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．(教材改编)命题“若α＝eq \f(π,4)，则tan α＝1”的逆否命题是(　　) A．若α≠eq \f(π,4)，则tan α≠1 B．若α＝eq \f(π,4)，则tan α≠1 C．若tan α≠1，则α≠eq \f(π,4) D．若tan α≠1，则α＝eq \f(π,4) C　[“若p，则q”的逆否命题是“若﹁q，则﹁p”，显然﹁q：tan α≠1，﹁p：α≠eq \f(π,4)，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠eq \f(π,4)”．] 3．“x＝1”是“(x－1)(x＋2)＝0”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x＝1或－2.] 4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为(　　) A．1　　 B．2 C．3　　　　 D．4 B　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．] 5．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[∵2－x≥0，∴x≤2. ∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2. ∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2， ∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件． 故选B.] (对应学生用书第4页) 四种命题的关系及其真假判断 　(1)命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是(　　) A．若a2＞b2，则a≤b　 B．若a2≤b2，则a≤b C．若a≤b，则a2＞b2 D．若a≤b，则a2≤b2 (2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是(　　) A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题 B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若eq \f(1,x)＞1，则x＞1”的逆否命题 (1)B　(2)B　[(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若﹁p，则﹁q”．该题中，p为a2＞b2，q为a＞b，故﹁p为a2≤b2，﹁q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b. (2)对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝