高考数学一轮复习学案（北师大版理科）： 第2章 函数、导数及其应用 第12节 定积分与微积分基本定理学案 理 北师大版.docVIP

第十二节　定积分与微积分基本定理 [考纲传真]　(教师用书独具)1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义． (对应学生用书第42页) [基础知识填充] 1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点δi(i＝1,2，…，n)，作和式s′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn.当每个小区间的长度Δx趋于0时，s′的值趋于一个常数A．我们称常数A叫作函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作eq \i\in(a,b,)f(x)dx，即eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝eq \o(lim,\s\do14(n→∞))eq \o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1)) eq \f(b－a,n)f(ξi)． (2)有关概念 在eq \i\in(a,b,)f(x)dx中，eq \i\in( , ,)叫作积分号，a与b分别叫作积分下限与积分上限，函数f(x)叫作被积函数． (3)定积分的几何意义 f(x) eq \i\in(a,b,)f(x)dx的几何意义 f(x)≥0 表示由直线x＝a，x＝b，x轴及曲线y＝f(x)所围曲边梯形的面积 f(x)＜0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在[a，b]上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 2.定积分的性质 (1)eq \i\in(a,b,)1dx＝b－a； (2)eq \i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq \i\in(a,b,)f(x)dx(k为常数)； (3)eq \i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq \i\in(a,b,)f1(x)dx±eq \i\in(a,b,)f2(x)dx； (4)eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝eq \i\in(a,c,)f(x)dx＋eq \i\in(c,b,)f(x)dx(其中acb)． 3．微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，那么eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼茨公式． 通常称F(x)是f(x)的一个原函数． 为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|eq \o\al(b,a)， 即eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)|eq \o\al(b,a)＝F(b)－F(a)． [知识拓展]　函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f(x)为偶函数，则eq \i\in(－a,a,) f(x)dx＝2eq \i\in(0,a,)f(x)dx. (2)若f(x)为奇函数，则eq \i\in(－a,a,)f(x)dx＝0. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝ eq \i\in(a,b,)f(t)dt.(　　) (2)定积分一定是曲边梯形的面积．(　　) (3)若eq \i\in(a,b,)f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)的图像，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　) (4)若f(x)是偶函数，则eq \i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq \i\in(0,a,)f(x)dx.(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)已知质点的速率v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　) A．10teq \o\al(2,0)　　 B．5teq \o\al(2,0)　　　　C．eq \f(10,3)teq \o\al(2,0)　　　　D．eq \f(5,3)teq \o\al(2,0) B　[S＝eq \i\in(0,\s\up5(t0),)∫vdt＝eq \i\in(0,\s\up5(t0),)10tdt＝5t2eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(t0,0))＝5teq \o\al(2,0).] 3.eq \i\in(－1,1,)e|x|dx的值为________． 2e－2　[eq \i\in(－1,1,)e|x|dx＝eq \i\in(－1,0,)e－xdx＋eq \i\in(0,1,)exdx ＝－e－xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0,-1))＋exeq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))