高考数学一轮复习学案（北师大版理科）： 第3章 三角函数、解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 理 北师大版.docVIP

第五节　两角和与差及二倍角的三角函数 [考纲传真]　(教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)． (对应学生用书第57页) [基础知识填充] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； (3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1?tan αtan β). 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α). 3．有关公式的变形、逆用 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； (2)cos2α＝eq \f(1＋cos 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cos 2α,2)，sin αcos α＝eq \f(sin 2α,2)； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))). [知识拓展] 1．辅助角公式 asin α＋bcos α＝eq \r(,a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tan φ＝\f(b,a))). 2．sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，cos 15°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，tan 15°＝2－eq \r(3). 3．tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cos α)＝eq \f(1－cos α,sin α). 4．sin 2α＝eq \f(2tan α,1＋tan2α)，cos 2α＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α). [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　　) (3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　) (4)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－eq \f(\r(,3),2)　　 B．eq \f(\r(,3),2) C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2) D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)，故选D．] 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝(　　) A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(2,9) C．eq \f(2,9) D．eq \f(7,9) A　[∵sin α－cos α＝eq \f(4,3)， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝eq \f(16,9)， ∴sin 2α＝－eq \f(7,9).故选A．] 4．函数 f(x)＝eq \r(,3)sin x＋cos x的最小值为________． －2　[函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的最小值是－2.] 5．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝eq \r(3)－eq \r(3)tan αtan β，则α＋β＝________. eq \f(π,3)　[由已知可得eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \r(3)，即tan(α＋β)＝eq \r(3).又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq \f(π