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考点01 集 合
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
一、集合的基本概念
1.元素与集合的关系:.
2.集合中元素的特征:
确定性
一个集合中的元素必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合
互异性
集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素
无序性
集合与其中元素的排列顺序无关,如a,b,c组成的集合与b,c,a组成的集合是相同的集合.这个特性通常被用来判断两个集合的关系
3.集合的分类:有限集与无限集,特别地,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记作.
4.常用数集及其记法:
集合
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
或
注意:实数集不能表示为{x|x为所有实数}或{},因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义.
5.集合的表示方法:自然语言、列举法、描述法、图示法.
二、集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号语言
图示
基
本基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B的元素
(或
)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
(或
)
相等
集合A,B中元素相同或集合A,B互为子集
空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
,
必记结论:(1)若集合A中含有n个元素,则有个子集,有个非空子集,有个真子集,有个非空真子集.(2)子集关系的传递性,即.
注意:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
三、集合的基本运算
1.集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
2.集合运算的相关结论
交集
并集
补集
3.必记结论
考向一 集合的基本概念
解决集合概念问题的一般思路:
(1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合,然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的意义.常见的集合的意义如下表:
集合
集合的意义
方程的解集
不等式的解集
函数 的定义域
函数的值域
函数图象上的点集
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性.
典例1 已知集合,,则集合中元素的个数为
A. B.3
C.4 D.5
【答案】D
【名师点睛】在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点;另一方面,在解答完毕时,注意检验集合的元素是否满足互异性,以确保答案正确.
1.已知集合A=1,2,3,B=1,m,若3-m∈A,
考向二 集合间的基本关系
集合间的基本关系在高考中时有出现,常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题,主要以选择题的形式出现,且主要有以下两种命题角度:(1)求子集的个数;(2)由集合间的关系求参数的取值范围.
典例2 已知集合,则集合的子集的个数为
A. B.
C. D.
【答案】B
【名师点睛】求集合的子集(真子集)个数问题,当集合的元素个数较少时,也可以利用枚举法解决,枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法,使用时应做到不重不漏.
2.已知集合,.若,则实数的值为__________.
考向三 集合的基本运算
有关集合间运算的试题,在高考中多以客观题的形式出现,且常与函数、方程、不等式等知识相结合,难度一般不大,常见的类型有:
(1)有限集(数集)间集合的运算
求解时,可以用定义法和Venn图法,在应用Venn图时,注意全集内的元素要不重不漏.
(2)无限集间集合的运算
常结合不等式等内容考查,一般先化简集合,再将集合在数轴上表示出来,最后进行集合运算求范围.
(3)用德·摩根公式法求解集合间的运算
对于有和的情况,可以直接应用德·摩根公
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