新教材素养突破人教A版数学必修第一册讲义：第四章 指数函数与对数函数 4.5.2-3含答案.docVIP

4.5.2　用二分法求方程的近似解 4.5.3　函数模型的应用 知识点一　用二分法求方程的近似解 1．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε. 第二步：求区间(a，b)的中点c. 第三步：计算f(c)． (1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)＜0， 则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (3)若f(c)·f(b)＜0， 则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． 第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步． eq \x(状元随笔)　二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 知识点二　常见的增长模型 1．线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． 2．指数函数模型 能利用指数函数(底数a＞1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸． 3．对数函数模型 能用对数函数(底数a＞1)表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大，函数值增长速度越来越慢． 4．幂函数模型 幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． eq \x(状元随笔)　函数模型的选取 (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y＝xn(n＞0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快． [教材解难] 　教材P149思考 因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况． [基础自测] 1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 答案：C 2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为 0.1的正实数零点的近似值为(　　) A．0.6　　B．0.75 C．0.7 D．0.8 解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]． 又0.68＝eq \f(0.64＋0.72,2)，且f(0.68)＜0， 所以零点在区间[0.68,0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04＜0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C. 答案：C 3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　) A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b 解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c. 答案：B 4．已知函数y＝f(x)在区间(2,4)上连续，验证f(2)·f(4)＜0，取区间(2,4)的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点所在的区间为________． 解析：∵f(2)·f(3)＜0，∴零点在区间(2,3)内． 答案：(2,3) 题型一　二分法概念的理解[经典例题] 例1　(1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是(　　) A．y＝x＋7 B．y＝5x－1 C．y＝log3x D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－x (2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 【解析】　(1) A × 解方程x＋7＝0，得x＝－7 B × 解方程5x－1＝0，得x