高三数学一轮（北师大版）基础巩固：第4章 第6节 正弦定理和余弦定理.docVIP

第四章　第六节 一、选择题 1．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3eq \r(2)，则AC＝(　　) A．4eq \r(3)　　　　　　　　 B．2eq \r(3) C．eq \r(3)　 D．eq \f(\r(3),2) [答案]　B [解析]　本题考查“已知两角及一角的对边”解三角形，由正弦定理得：eq \f(3\r(2),sin60°)＝eq \f(AC,sin45°)，即AC＝2eq \r(3). 2．(2014·广东高考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(　　) A．充分必要条件　 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件　 D．非充分非必要条件 [答案]　A [解析]　本题考查三角形内角和，诱导公式及充要条件．由a≤b得A≤B．当B为锐角时，sinA≤sinB；当B为直角时，sinA≤sinB；当B为钝角时，π－B＝A＋CA，此时π－B为锐角，所以sin(π－B)sinA，即sinBsinA，综上：sinA≤sinB．反之亦成立，选A． 3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．若B＝2A，a＝1，b＝eq \r(3)，则c＝(　　) A．2eq \r(3)　 B．2 C．eq \r(2)　 D．1 [答案]　B [解析]　本题考查正弦定理、二倍角公式等． 由正弦定理得eq \f(1,sinA)＝eq \f(\r(3),sinB)＝eq \f(\r(3),sin2A)＝eq \f(\r(3),2sinAcosA)， 即2sinAcosA＝eq \r(3)sinA， 又sinA0，∴cosA＝eq \f(\r(3),2)，A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,3)，C＝eq \f(π,2)， ∴c＝2. 4．(文)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A A．(0，eq \f(π,6)]　 B．[eq \f(π,6)，π) C．(0，eq \f(π,3)]　 D．[eq \f(π,3)，π) [答案]　C [解析]　本题主要考查正余弦定理， ∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsin ∴由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc， 由余弦定理得：cosA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2)， ∴0A≤eq \f(π,3)，故选C． (理)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为 A．eq \f(\r(3),2)　 B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(1,2)　 D．－eq \f(1,2) [答案]　C [解析]　本题考查了余弦定理、基本不等式等知识． 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC，∵a2＋b2＝2c2 ∴c2＝2abcosC，又由2c2＝a2＋b2≥2ab得c2≥ab ∴cosC＝eq \f(c2,2ab)≥eq \f(1,2)，故选C． 5．(2014·新课标Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是eq \f(1,2)，AB＝1，BC＝eq \r(2)，则AC＝(　　) A．5　 B．eq \r(5) C．2　 D．1 [答案]　B [解析]　本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S△ABC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)·eq \r(2)·1·sinB＝eq \f(1,2)， ∴sinB＝eq \f(\r(2),2)，∴B＝eq \f(π,4)或eq \f(3π,4). 当B＝eq \f(π,4)时， 经计算△ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去． ∴B＝eq \f(3π,4)，根据余弦定理， b2＝a2＋c2－2accosB，解得b＝eq \r(5)，故选B． 6．△ABC中，a2tanB＝b2tanA，则三角形的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　C [解析]　由正弦定理得sin2AtanB＝sin2BtanA， sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2 又因为A，B∈(0，π)，所以A＝B或A＋B＝90°. 二、填空题 7．(文)(2014·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知A＝eq \f(π,6)，a＝1，b＝eq \r(3)，则B＝________. [答案]　eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) [解析]　本题考查正弦定理． 由正弦定理得eq \f(\r(3),sinB)＝eq \f(1,sin\f(π,6))，所以sinB＝eq \f(\r(3),2).又因为b