2022版高考人教版数学一轮学案：第二章第十二讲　第二课时　导数与函数的极值、最值含解析.docVIP

第二课时　导数与函数的极值、最值 知识梳理·双基自测 eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理) 知识点一　函数的极值 1．函数的极值 (1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)__<__ f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)__>__ f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作f(x)极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值． (2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法： 如果x<x0有f′(x)__>__0，x>x0有f′(x)__<__0，那么f(x0)是极大值． 如果x<x0有f′(x)__<__0，x>x0有f′(x)__>__0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)极值的步骤 (1)__求导数f′(x)__； (2)__求方程f′(x)＝0的根__； (3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的__根左右的值__的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得__极大值__；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得__极小值__. 知识点二　函数的最值 1．函数的最值的概念 设函数y＝f(x)在__[a，b]__上连续，在__(a，b)__内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值． 2．连续函数在闭区间[a，b]上一定有最大值和最小值． 3．求函数最值的步骤 设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行： (1)__求f(x)在(a，b)内的极值__； (2)__将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．__ eq \x(归)eq \x(纳)eq \x(拓)eq \x(展) 1．f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系 函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． 2．极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值． 3．极值与最值的关系 极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取． 4．定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值． eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测) 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(　×　) (2)函数的极大值不一定比极小值大．(　√　) (3)导数等于0的点不一定是函数的极值点．(　√　) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　√　) [解析]　(1)函数的极值是局部概念，极值点是与该点附近的点的函数值比较得到的，而不是在某区间或定义域上比较． (2)如图，在x1处的极大值点比在x2处的极小值点小． (3)如y＝x3在x＝0处，导数为0，但不是极值点． (4)如图知正确． 题组二　走进教材 2．(理)(选修2－2P32AT4改编)(文)(选修1－1P98AT4改编)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下面正确的是(　C　) A．x＝1是最小值点 B．x＝0是极小值点 C．x＝2是极小值点 D．函数f(x)在(1,2)上单调递增 [解析]　由导函数图象可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝2为极小值点，f′(x)在(1,2)上小于0，因此f(x)单调递减，选C． 3．(理)(选修2－2P32AT5改编)(文)(选修1－1P99AT5改编)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　C　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 [解析]　∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点． 4．(理)(选修2－2P32AT6改编)(文)(选修1－1P99AT6改编)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　B　) A．1－e B．－1 C．－e D．0 [解析]　因为f′(x)