2022版高考人教版数学一轮学案：第二章第十二讲　第三课时　导数与函数的零点或方程的根、不等式含解析.docVIP

第三课时　导数与函数的零点或方程的根、不等式 知识梳理·双基自测 eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理) 知识点一　利用导数研究函数零点的方法 方法一：(1)求函数f(x)的单调区间和极值． (2)根据函数f(x)的性质作出图象． (3)判断函数零点的个数． 方法二：(1)求函数f(x)的单调区间和极值． (2)分类讨论，判断函数零点的个数． 知识点二　利用导数解决不等式问题的常见题型及解题策略 (1)利用导数证明不等式 若证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果能证明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)g(x)，x∈(a，b)． (2)利用导数解决不等式的恒成立问题 “恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f(x)在x∈D上存在最大值和最小值时，若f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≤f(x)min；若f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≥f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≤f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≤g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≥f(x)min. eq \x(归)eq \x(纳)eq \x(拓)eq \x(展) 1．若x∈(0，eq \f(π,2))，则tan xxsin x. 2．若x∈(0，＋∞)，则ex≥x＋1x－1≥ln x. eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测) 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x－sin x有无数多个零点．(　×　) (2)函数y＝tan x－x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内有三个零点．(　×　) (3)不等式exln(x＋2)恒成立．(　√　) (4)不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x≤1－x恒成立．(　×　) 题组二　走进教材 2．(理)(必修1P93BT3改编)若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为(　C　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，＋∞)) (文)(必修1P93BT3改编)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　A　) A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) [解析]　(理)函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝0得a＝xln x，记g(x)＝xln x. 则g′(x)＝ln x＋1，由g′(x)0得xeq \f(1,e)，由g′(x)0得0xeq \f(1,e). ∴g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上递增， 且gmin(x)＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－eq \f(1,e)，由图可知－eq \f(1,e)a0，故选C． (文)f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.三次方程f(x)＝0有3个根?f(x)极大值0且f(x)极小值0. ∵x＝－1为极大值点，x＝1为极小值点． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f?－1?＝2＋a0，,f?1?＝a－20，))∴－2a2. 3．(理)(选修2－2P32BT1改编)(文)(选修1－1P99BT4改编)若函数f(x)＝eq \f(ln x,x)，0abe，则有(　C　) A．f(a)f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)f(b) D．f(a)f(b)1 [解析]　∵f(x)＝eq \f(ln x,x)，∴f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，当0xe时，f′(x)0，故f(x)在(0，e)上单调递增．又∵0abe，∴f(a)f(b)．故选C． 4．(理)(选修2－2P32BT1改编)求证：ln x≤x－