2022版高考人教版数学一轮学案：第二章第十二讲　第一课时　导数与函数的单调性含解析.docVIP

第十二讲　导数在研究函数中的应用 第一课时　导数与函数的单调性 知识梳理·双基自测 eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理) 知识点　函数的单调性 (1)设函数y＝f(x)在某个区间内__可导__，若f′(x)____0，则f(x)为增函数，若f′(x)____0，则f(x)为减函数． (2)求可导函数f(x)单调区间的步骤： ①确定f(x)的__定义域__； ②求导数f′(x)； ③令f′(x)____0(或f′(x)____0)，解出相应的x的范围； ④当__f′(x)0__时，f(x)在相应区间上是增函数，当__f′(x)0__时，f(x)在相应区间上是减函数． eq \x(归)eq \x(纳)eq \x(拓)eq \x(展) 导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)0(或f′(x)0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测) 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0.(　×　) (2)若函数y＝f(x)在(a，b)内恒有f′(x)≥0，则y＝f(x)在(a，b)上一定为增函数．(　×　) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　) (4)因为y＝eq \f(1,ln x)的导函数为y′＝eq \f(－1,x?ln x?2)，∵x0，∴y′0，因此y＝eq \f(1,ln x)的减区间为(0，＋∞)．(　×　) [解析]　(1)有可能f′(x)＝0，如f(x)＝x3，它在(－∞，＋∞)上为增函数，但f′(x)＝x2≥0. (2)因为y＝f(x)若为常数函数，则一定有f′(x)＝0满足条件，但不具备单调性． (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则此函数f(x)在这个区间内为常数函数，则函数f(x)在这个区间内没有单调性． (4)y＝eq \f(1,ln x)定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，因此它的减区间为(0,1)和(1，＋∞)． 题组二　走进教材 2．(理)(选修2－2P26T1改编)(文)(选修1－1P95T1改编)函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为(　A　) A．(0,4) B．(0,2) C．(4，＋∞) D．(－∞，0) [解析]　f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)0，得0x4，所以单调递减区间为(0,4)．故选A． 3．(理)(选修2－2P32BT1改编)(文)(选修1－1P99BT1改编)已知函数f(x)＝1＋x－sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是(　D　) A．f(2)f(3)f(π) B．f(3)f(2)f(π) C．f(2)f(π)f(3) D．f(π)f(3)f(2) [解析]　f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，π]时，f′(x)0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)f(3)f(2)．故选D． 4．(理)(选修2－2P31AT3改编)(文)(选修1－1P98AT3改编)已知函数y＝f(x)在定义域(－3,6)内可导，其图象如图，其导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为__[－1,2]∪[4,6)__. [解析]　f′(x)≤0，即y＝f(x)递减，故f′(x)≤0，解集为[－1,2]∪[4,6)． 题组三　走向高考 5．(2017·浙江，4分)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　D　) [解析]　根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A，B；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)0，在(x1，x2)上f′(x)0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C，选D． 6．(2016·全国卷Ⅰ，5分)若函数f(x)＝x－eq \f(1,3)sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　C　) A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3))) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\