2022版高考人教版数学一轮学案：第六章第四讲　基本不等式含解析.DOCVIP

第四讲　基本不等式 知识梳理·双基自测 eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理) 知识点一　重要不等式 a2＋b2≥__2ab__(a，b∈R)(当且仅当__a＝b__时等号成立)． 知识点二　基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(均值定理) (1)基本不等式成立的条件：__a0，b0__； (2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时等号成立； (3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的__算术平均数__，eq \r(ab)叫做正数a，b的__几何平均数__. 知识点三　利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)， 那么当__x＝y__时，x＋y有最小值2eq \r(P).(简记：“积定和最小”) (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)， 那么当x＝y时，xy有最大值eq \f(S2,4).(简记：“和定积最大”) eq \x(归)eq \x(纳)eq \x(拓)eq \x(展) 常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2eq \r(ab)(a0，b0)．(当且仅当a＝b时取等号) (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号) (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号) (4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．(当且仅当a＝b时取等号)． (5)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a，b0当且仅当a＝b时取等号)． eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测) 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝cos x＋eq \f(4,cos x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值等于4.(　×　) (2)“x0且y0”是“eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2”的充要条件．(　×　) (3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　√　) (4)若a0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值为2eq \r(a).(　×　) (5)不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)有相同的成立条件．(　×　) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　√　) 题组二　走进教材 2．(必修5P100练习T1改编)若x0，则x＋eq \f(1,x)(　D　) A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 [解析]　因为x0，所以－x0，－x＋eq \f(1,－x)≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋eq \f(1,x)≤－2. 3．(必修5P100练习T3改编)设0ab，则下列不等式中正确的是(　B　) A．abeq \r(ab)eq \f(a＋b,2) B．aeq \r(ab)eq \f(a＋b,2)b C．aeq \r(ab)beq \f(a＋b,2) D．eq \r(ab)aeq \f(a＋b,2)b [解析]　解法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，则有0a＝1eq \r(ab)＝eq \r(2)eq \f(a＋b,2)＝1.5b＝2. 解法二(直接法)：我们知道算术平均数eq \f(a＋b,2)与几何平均数eq \r(ab)的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B． 4．(必修5P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25__m2. [解析]　设矩形的一边为x m，面积为y m2， 则另一边为eq \f(1,2)×(20－2x)＝(10－x)m，其中0x10， ∴y＝x(10－x)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋?10－x?,2)))2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 题组三　走向高考 5．(2020·江苏，12,5分)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是__eq \f(4,5)__. [解析]　由5x2y2＋y4＝1知y≠0，∴x2＝eq \f(1－y4,5y2)，∴x2＋y2＝eq \f(1－y4,5y2)＋y2＝eq \f(1＋4y4,5y2)＝eq \f(1,5y2)＋eq \f(4y2,5