高考数学一轮复习学案（北师大版理科）： 第2章 函数、导数及其应用 第5节 指数与指数函数学案 理 北师大版.docVIP

第五节　指数与指数函数 [考纲传真]　(教师用书独具)1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)的指数函数的图像.3.体会指数函数是一类重要的函数模型． (对应学生用书第19页) [基础知识填充] 1．根式的性质 (1)(eq \r(n,a))n＝a. (2)当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a. (3)当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a(a≥0)，,－a(a＜0).)) (4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂 ①正分数指数幂：aeq \s\up7(eq \f(m,n))＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)； ②负分数指数幂：aeq \s\up7(－eq \f(m,n))＝eq \f(1,aeq \s\up7(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①am·an＝am＋n(a＞0，m，n∈Q)； ②(am)n＝amn(a＞0，m，n∈Q)； ③(ab)m＝ambm(a＞0，b＞0，m∈Q)． 3．指数函数的图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图像 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 在R上是增函数 在R上是减函数 [知识拓展]　指数函数的图像与底数大小的比较 判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较． 如图2-5-1是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 图2-5-1 [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)eq \r(n,an)＝(eq \r(n,a))n＝a.(　　) (2)(－1)eq \s\up7(eq \f(2,4))＝(－1)eq \s\up7(eq \f(1,2))＝eq \r(－1).(　　) (3)函数y＝2x－1是指数函数．(　　) (4)函数y＝aeq \s\up7(x2＋1) (a＞1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (5)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．(教材改编)化简[(－2)6]eq \s\up7(eq \f(1,2))－(－1)0的结果为(　　) A．－9　　　　　　 B．7 C．－10 D．9 B　[原式＝(26)eq \s\up7(eq \f(1,2))－1＝8－1＝7.] 3．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图像可能是(　　) A　　 　　　　B　　　　 　C　 　　　　D C　[法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C. 法二：当a＞1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B都不合适； 当0＜a＜1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D.] 4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图像必过定点________． (2，－2)　[令x－2＝0，则x＝2，此时f(x)＝1－3＝－2， 故函数f(x)＝ax－2－3的图像必过定点(2，－2)．] 5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________． (1,2)　[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.] (对应学生用书第20页) 指数幂的运算 　化简下列各式： (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))eq \s\up7(0)＋2－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq \s\up7(－eq \f(1,2))－(0.01)0.5； (2)eq \f((aeq \s\up7(\f(2,3))·b－1)eq \s\up7(－\f(1,2))·aeq \s\up7(－\f(1,2))·beq \s\up7(\f(1,3)),\r(6,a·b5)). [解]　(1)原式＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9))