高考数学一轮复习学案（北师大版理科）： 第2章 函数、导数及其应用 第11节 第3课时 导数与函数的综合问题学案 理 北师大版.docVIP

第3课时　导数与函数的综合问题 (对应学生用书第40页) 利用导数研究不等式的有关问题 ◎角度1　证明不等式 　(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a0时，证明f(x)≤－eq \f(3,4a)－2. [解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝eq \f(1,x)＋2ax＋2a＋1＝eq \f((x＋1)(2ax＋1),x). 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a0，则当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))时，f′(x)0； 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))时，f′(x)0. 故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a0时，f(x)在x＝－eq \f(1,2a)处取得最大值，最大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))－1－eq \f(1,4a). 所以f(x)≤－eq \f(3,4a)－2等价于lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))－1－eq \f(1,4a)≤－eq \f(3,4a)－2， 即lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＋eq \f(1,2a)＋1≤0. 设g(x)＝ln x－x＋1， 则g′(x)＝eq \f(1,x)－1. 当x∈(0,1)时，g′(x)0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0， 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0. 所以当x0时，g(x)≤0. 从而当a0时，lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＋eq \f(1,2a)＋1≤0， 即f(x)≤－eq \f(3,4a)－2. ◎角度2　解决不等式恒(能)成立问题 　(2018·广州综合测试(二))已知函数f(x)＝eq \f(x,ln x)－ax＋b在点(e，f(e))处的切线方程为y＝－ax＋2e. (1)求实数b的值； (2)若存在x∈[e，e2]，满足f(x)≤eq \f(1,4)＋e，求实数a的取值范围. 【导学号 [解]　(1)函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 因为f(x)＝eq \f(x,ln x)－ax＋b， 所以f′(x)＝eq \f(ln x－1,(ln x)2)－a. 所以函数f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－(e－ae＋b)＝－a(x－e)，即y＝－ax＋e＋b. 已知函数f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝－ax＋2e，比较可得b＝e. 所以实数b的值为e. (2)f(x)≤eq \f(1,4)＋e，即eq \f(x,ln x)－ax＋e≤eq \f(1,4)＋e，所以问题转化为a≥eq \f(1,ln x)－eq \f(1,4x)在[e，e2]上有解． 令h(x)＝eq \f(1,ln x)－eq \f(1,4x)(x∈[e，e2])， 则h′(x)＝eq \f(1,4x2)－eq \f(1,x(ln x)2)＝eq \f((ln x)2－4x,4x2(ln x)2) ＝eq \f((ln x＋2\r(x))(ln x－2\r(x)),4x2(ln x)2). 令p(x)＝ln x－2eq \r(x)， 所以当x∈[e，e2]时，有p′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,\r(x))＝eq \f(1－\r(x),x)＜0. 所以函数p(x)在区间[e，e2]上单调递减． 所以p(x)≤p(e)＝ln e－2eq \r(e)＜0. 所以h′(x)＜0，即h(x)在区间[e，e2]上单调递减． 所以h(x)≥h(e2)＝eq \f(1,ln e2)－eq \f(1,4e2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,4e 2). 所以实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4e2)，＋∞)). [规律方法]　1.利用导数证明含“x”不等式方法，证明：f?x?＞g?x?. 法一：移