高考数学一轮复习学案（北师大版理科）： 第3章 三角函数、解三角形 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数学案 理 北师大版.docVIP

第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 [考纲传真]　(教师用书独具)1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． (对应学生用书第47页) [基础知识填充] 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.)) (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (4)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，那么 v叫作α的正弦，记作sin α u叫作α的余弦，记作cos α eq \f(v,u)叫作α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 [知识拓展]　1.任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(y≠0)． 2．单位圆上任意一点可设为(cos θ，sin θ)(θ∈R)． 3．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sin α＜α＜tan α. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)三角形的内角必是第一、第二象限角．(　　) (4)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．(　　) (5)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　) (6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ 2．若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为(　　) A．第一象限　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[由cos θ0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D．] 3．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y))，则sin α＝(　　) A．eq \f(\r(,3),2) B．±eq \f(\r(,3),2) C．eq \f(\r(,2),2) D．±eq \f(\r(,2),2) B　[由题意知|r|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up7(2)＋y2＝1，所以y＝±eq \f(\r(,3),2).由三角函数定义知sin α＝y＝±eq \f(\r(,3),2).] 4．已知圆的一条弦的长等于半径长，则这条弦所对的圆心角的大小为________弧度． eq \f(π,3)　[∵弧长等于半径长． ∴该弦与两半径构成的三角形为正三角形． 故该弦所对的圆心角的大小为eq \f(π,3).] 5．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角． 四　一　[∵3 900°＝10×360°＋300°，∴3 900°是第四象限角． ∵－1 000°＝－3×360°＋80°，∴－1 000°是第一象限角．] (对应学生用书第48页) 角的有关概念及其集合表示 　(1)若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．