江苏省高考文科数学二轮专题复习讲义：专题五 第3讲　直线、圆与椭圆的综合运用含答案.docVIP

第3讲　直线、圆与椭圆的综合运用 [2019考向导航] 考点扫描 三年考情 考向预测 2019 2018 2017 1．交点、定点、定值问题 第17题 第18题 第17题 解析几何综合是江苏高考必考题．填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，主要是以椭圆为背景；解答题主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，计算量大，重点关注交点、定点、定值及最值、范围问题． 2．范围、最值问题 3．探索性问题 1．交点、定点、定值问题 如果曲线中某些量不依赖于变化元素而存在，则称为定值，探讨定值的问题一般为解答题．求定点、定值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定点、定值，然后再予以证明． 2．范围、最值问题 求解析几何中的有关范围最值问题往往通过类比、联想、转化、合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决问题． 对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效． 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法： (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 3．探索性问题 存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)不确定的问题．这类问题常常出现“是否存在”“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定．解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明．即：“假设——推证——定论”是解答此类问题的三个步骤． 交点、定点、定值问题 [典型例题] (2019·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1．已知DF1＝eq \f(5,2)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求点E的坐标． 【解】　(1)设椭圆C的焦距为2c． 因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2＝2，c＝1． 又因为DF1＝eq \f(5,2)，AF2⊥x轴，所以DF2＝eq \r(DFeq \o\al(2,1)－F1Feq \o\al(2,2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2)－22)＝eq \f(3,2)． 因此2a＝DF1＋DF2＝4，从而a＝2． 由b2＝a2－c2，得b2＝3． 因此，椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1． (2)法一：由(1)知，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，a＝2． 因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1． 将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16， 解得y＝±4． 因为点A在x轴上方，所以A(1，4)． 又F1(－1，0)，所以直线AF1：y＝2x＋2． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋2，,（x－1）2＋y2＝16，))得5x2＋6x－11＝0， 解得x＝1或x＝－eq \f(11,5)． 将x＝－eq \f(11,5)代入y＝2x＋2，得y＝－eq \f(12,5)． 因此Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,5)，－\f(12,5)))．又F2(1，0)，所以直线BF2：y＝eq \f(3,4)(x－1)． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,4)（x－1），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝eq \f(13,7)． 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1． 将x＝－1代入y＝eq \f(3,4)(x－1)，得y＝－eq \f(3,2)． 因此Eeq \b\lc\(\r