高三理科数学二轮复习必考问题专项突破 19 概率、随机变量及其分布列.docVIP

必考问题19　概率、随机变量及其分布列 　(2012·湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客 数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望； (2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率) 答案：解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得 P(X＝1)＝eq \f(15,100)＝eq \f(3,20)，P(X＝1.5)＝eq \f(30,100)＝eq \f(3,10)，P(X＝2)＝eq \f(25,100)＝eq \f(1,4)，P(X＝2.5)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，P(X＝3)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10). X的分布列为 X 1 1.5 2 2.5 3 P eq \f(3,20) eq \f(3,10) eq \f(1,4) eq \f(1,5) eq \f(1,10) X的数学期望为 E(X)＝1×eq \f(3,20)＋1.5×eq \f(3,10)＋2×eq \f(1,4)＋2.5×eq \f(1,5)＋3×eq \f(1,10)＝1.9. (2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则 P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)． 由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以 P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝eq \f(3,20)×eq \f(3,20)＋eq \f(3,20)×eq \f(3,10)＋eq \f(3,10)×eq \f(3,20)＝eq \f(9,80). 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为eq \f(9,80). 结合事件的互斥性、对立性、独立性以及古典概型，主要以解答题的方式考查离散型随机变量分布列、期望和方差的求解及其实际应用． 本部分复习要从整体上，知识的相关关系上进行．离散型随机变量问题的核心是概率计算，而概率计算又以事件的独立性、互斥性、对立性为核心，在解题中要充分分析事件之间的关系. 必备知识 互斥事件有一个发生的概率 若A、B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A)＋P(Aeq \x\to( ))＝1. 相互独立事件与n次独立重复试验 (1)若 A1，A2，…，An是相互独立事件，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)． (2)如果在一次试验中事件A发生的概率为p，事件A不发生的概率为1－p，那么在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为： Pn(k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k. 离散型随机变量的分布列、期望与方差 (1)主干知识：随机变量的可能取值，分布列，期望，方差，二项分布，超几何分布，正态分布． (2)基本公式：①E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…； ②D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn＋…； ③E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)； ④二项分布：ξ～B(n，p)，则P(ξ＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)． 正态分布 (1)若X服从参数为μ和σ2的正态分布，则可表示为X～N(μ，σ2)． (2)N(μ，σ2)的分布密度曲线关于直线x＝μ对称，该曲线与x轴所围成的图形的面积为1. (3)当X～N(μ，σ2)时，0.683＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，0.954＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，0.997＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)． 以上三个概率值具有重要的应用，要熟记，不可混用． 必备方法 1．在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路