数学破题36计 第31计 解几开门 轨迹遥控.docVIP

数学破题36计 数学破题36计 ●计名释义 求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基. ●典例示范 【例1】 动椭圆过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率e=. (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值. 【思考】 如M（1，2）为右顶点，则左顶点为P（1-2a,2）.椭圆中心为(1-a,2)，左准线为y轴.∴-a=0，而e=. ∴=2，有-3a+1=0，a=. 得点P1(,2)；如M（1，2）为左顶点，有P2（1，2），∴P1P2中点为（，2）. 由以上可以预见,所求轨迹是中心为O′(,2)的椭圆. 【解答】 （1）设椭圆左顶点为M(x,y)，则左焦点为F（x0，y0）=F(x+a-c，y)， ∵e=，且左准线为y轴, ∴=0, 得a=x，c==，有：F，由椭圆第二定义：= e=. ∴ ，化简得： ① (2)椭圆①的长半轴a′=，∴-≤x-≤，得x∈. 原椭圆长半轴为a=x，∴2a=2x∈.故原椭圆长轴最大值为2，最小值为. 【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，其中F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A（-1，2），B（3，2）在双曲线上，（1）求点F2的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，不存在，说明理由. 【思考】 F1（1，0）为定点，∴|AF1|=2=|BF1|为定值，设F2(x，y)，则|F2A|-2=±(F2B-2).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4，知动点F2的轨迹为直线AB的垂直平分线或以A、B为焦点的椭圆. 【解答】 （1）点F2的轨迹方程为直线l：x=1或椭圆.(不含短轴两端，即不含（1，0），（1，4）解法略). （2）如图，当椭圆与直线y=x+m相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与直线x=1的交点），其他情况下，若直线y=x+m过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由 ∴3x2+(4m-10)x+2m2 此方程应有相等二实根， ∴Δ=(4m-10)2-12(2m 化简得：m2-2m-11=0,∴m=1±2. 【小结】 探求轨迹，一要注意 其完备性也就是充分性：只要符合 条件的点都适合轨迹方程；二要 注意其纯粹性也就是必要性：只要 适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图 以例2为例：若忽视了直线x=1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（4，0）则又不纯粹. ●对应训练 1.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6,0），另一个焦点F2为动点. (1)求双曲线中心的轨迹方程; (2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程. 2.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，△OQP为正三角形（按逆时针方向转），求点P的轨迹方程. 3.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6，0），另一个焦点F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程. 4.已知抛物线C：y2=4x，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程；（2）若M（m,0）是x轴上的一个定点，Q是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ|的最小值. ●参考答案 1.设F2(x0，y0), ∵O(0,0)在双曲线上, ∴|OF2| - |OF1| =±2，|OF1|=6, ∴|OF2|=6±2，如|OF2|=8，则x20+y20=64 ①如|OF2|=4，则x20+y20=16 ② 当O、F1、F2共线时，F1、F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）设双曲线中心为M（x，y）,则 ③ ③代入①：(2x-6)2+(2y)2=64， 即(x-3)2+y2=16(x≠7) ③代入②：（2x-62+(2y)2=16， 即(x-3)2+