新教材素养突破人教A版数学必修第一册讲义：第三章 函数的概念与性质 3.2.1.1含答案.docVIP

3.2.1　单调性与最大(小)值 最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 第1课时　函数的单调性 知识点一　定义域为I的函数f(x)的单调性 eq \x(状元随笔)　定义中的x1，x2有以下3个特征 (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x1<x2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二　单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． eq \x(状元随笔)　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难] 1．教材P77思考 f(x)＝|x|在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减． 2．教材P77思考 (1)不能　例如反比例函数f(x)＝－eq \f(1,x)，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的． (2)函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的． [基础自测] 1．下列说法中正确的有(　　) ①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数； ②函数y＝x2在R上是增函数； ③函数y＝－eq \f(1,x)在定义域上是增函数； ④y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A．0个　　　　　　　　　B．1个 C．2个 D．3个 解析：由于①中的x1，x2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A 2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　) A．m>eq \f(1,2) B．m<eq \f(1,2) C．m>－eq \f(1,2) D．m<－eq \f(1,2) 解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<eq \f(1,2). 答案：B 3．函数y＝－2x2＋3x的单调减区间是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)) 解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))，故选D. 答案：D 4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________． 解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2. 答案：x1>x2 题型一　利用函数图象求单调区间[经典例题] 例1　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为(　　) 　　 A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1) C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1) 【解析】　在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)． 【答案】　C 观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间． 跟踪训练1　函数f(x)的图象如图所示，则(　　) 　　　　　　 A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数 B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数 C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数 D．函数f(x)在[2,4]上是增函数 解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A. 答案：A 根据图象上升或下降趋势判断． 题型二　函数的单调性判断与证明[教材P79例3] 例2　根据定义证明函数y＝x＋eq \f(1,x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 【证明】　?x1，x2∈(1，＋∞)， 且x1<x2，有 y1－y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))