新教材素养突破人教A版数学必修第一册讲义：第五章 三角函数 5.5.1.1含答案.docVIP

5.5　三角恒等变换 5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 最新课程标准：经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. 知识点　两角差的余弦公式 名称 简单符号 公式 使用条件 两角差 的余弦 C(α－β) cos(α－β)＝ cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β为任意角 eq \x(状元随笔)　公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式． [教材解难] 　(1)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cos α－cos β或cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角． (2)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角β＝(α＋β)－α，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)等． [基础自测] 1．cos(45°－60°)等于(　　) A.eq \f(\r(2),2)　　　　　　　　　　　B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(2)＋\r(3),4) D.eq \f(\r(2)＋\r(6),4) 解析：cos(45°－60°)＝cos 45°cos 60°＋sin 45°sin 60°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4). 答案：D 2．cos 45°·cos 15°＋sin 45°·sin 15°等于(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3) 解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2). 答案：B 3．cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°的值是(　　) A．0 B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,2) D．－eq \f(1,2) 解析：原式＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°) ＝cos 60°＝eq \f(1,2).故选B. 答案：B 4．已知cos α＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝________. 解析：因为cos α＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))， 所以sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2)＝eq \f(2\r(6),5). 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝cos α coseq \f(π,3)＋sin α sineq \f(π,3)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(2\r(6),5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1＋6\r(2),10). 答案：eq \f(1＋6\r(2),10) 题型一　运用公式化简求值 例1　化简求值： (1)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°； (2)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β. 【解析】　(1)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2). (2)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (1)由117 °＝180 °－63 °，57 °＝90 °－33 °，利用诱导公式化成同角． (2)利用公式求值． 方法归纳 两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． 跟踪训练1　求值： (1)cos 15°＝________； (2)cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝________. 解析：(1)cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝eq \f(\