复变函数习题及解答.docx

已知 已知x为实数，求复数 1 2ix；x 1的实部和虚部. 已知 已知x为实数，求复数 1 2ix；x 1的实部和虚部. 第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式 和指数形式.（其中，R，为实常数） (1)7t2(COS3nisin n(3) 1 cos isin(4)(5)i Rsi ne(6) i答案(1) (1) 7t 2(COS3 n isin n (3) 1 cos isin (4) (5) i Rsi n e (6) i 答案 (1) 实部— 1 ?虚部 辐角为 3 2k nk 0, 1, 原题即为代数形式；三角形式为 模为2； 2（cos于isin严?指数形式为2e^ , 2丄；主辐角为3 ； i4 n (2) 略为 2[cos5n 3 5 n叫], [2sin( _)]eiarctan[ctan( /2)] 略为 2 略为 eei; e(cos1 isin1) 略为： cos(Rsin ) isin( Rsin ) 答案 （1 答案 （1） 弓 V b2 a i,2 b2 a] （6）该复数取两个值 2- -2 (cos isin ) 2 2 e , arctan(1 . 2); 略为 2 ■. 2 (cos isin ) 2一2d , n arctan(1 2); 计算下列复数 -10 1 1) 1 i 3 ； 2) 1 i 3. 1 3 n 4 2k n i 答案 1) 512 i5123 ； 2) 26e 3 k 0,1,2 计算下列复数 (1) a ib ； (2) 3i ； i( /6 2n /3) (2) e ［解］令 cos5 10cos3 sin2 5cos sin4 2ix x 1 p iq，（p，q R），即 p,q cos5 10cos3 sin2 5cos sin4 1 2xi?x 5cos4 sin 10cos2 sin3 sin5 证明：如果 w是1的n次方根中的一个复数根，但是 5cos4 sin 10cos2 sin3 sin5 证明：如果 w是1的n次方根中的一个复数根，但是 w 1即不是主根，则必有 即实部为 x,虚部为..x2 1 说明已考虑根式函数是两个值，即为 值. 如果|z| 如果|z| h试证明对于任何复常数 a,b有 bz 【证明］因为|z| h zN 1 z 1/z，所以 如果复数a ib是实系数方程 如果复数a ib是实系数方程P z n n 1 a0z a1z an 1z an 0 的根，贝y a i b k, k ,an an .且 z 故由共轭复数性质有： p z p z .则由已知P a ib 0?两端取共轭得 证因为ao, Q , an均为实数，故ao ao , a1 a1 即Pa ib 0 . 故 a ib也是Pz 0之根. 注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证?此结论说明实系数多 项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识. 特别地，奇次实系数多项 式至少有一个实零点. 证明： 2 2 2 2 |z z2 | | N丨2（|乙丨〔N丨），并说明其几何意义. 若(1 i)n (1 T，试求n的值. n (1 i)n 2(cos7 ?n -n ［解］因为(1 i) 2 (COS4 n n n 所以sin v sin t即为sin t 将下列复数表为sin ,cos的幕的形式 (1) cos5 ； (2) sin5  n i sin^)n 22(cos^4 i sin》) n isin7)n 2cos冷 i sin^) 0所以 士 k ,n 4k,(k 0, 1, 2,L ) n n n n n n n n n n n n n n n n 2 2 2 2 | k k| （ | k|| k|） | k| | k| k 1 k 1 k 1 k 1 成立。 【证明】对任意n个复数，由三角不等式知 再由关于实数的柯西不等式得 n 2 n 八2 n n ,2 , ,2 | k k | (| k || k [) | k 1 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 ，证毕。 sin(n sin cos cos2 cos3 L cos n 2 . 2sin — 证明 2 1 cos— cos(n ) sin sin 2 sin 3 L sin n 2 2 2sin — 成立. 下列不等式在复数平面上表示怎样的点集？ 门 0 Re z 1 ； 2）2 z zo 3 ； 3） o arg z 1 ； 4）0 Im z 5) （答 1 ）平面上由 （答 1 ）平面上由x 0与x 1所构成的宽度为1的铅直带形域; 2）以zo为心，内半径为 2,外半径为 2