江苏专用届高考数学总复习考前三个月附加题高分练3曲线与方程抛物线理0123165.docVIP

精品文档可下载编辑 PAGE / NUMPAGES 1 3．曲线与方程、抛物线 1．(2021·江苏南通天星湖中学质检)点A(1,2)在抛物线F：y2＝2px上． (1)假设△ABC的三个顶点都在抛物线F上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2)假设四边形ABCD的四个顶点都在抛物线F上，记四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值． 解 (1)由点A(1,2)在抛物线F上，得p＝2，∴抛物线F：y2＝4x， 设B??????y21 4，y1，C??????y22 4，y2， ∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y21 4－1y1－ 2－y22 4－y21 4y2－y 1＋1－y22 42－y 2＝y1＋2 4－y2＋y1 4＋2＋y2 4＝1. (2)另设D??????y23 4，y3，那么1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y1＋2 4－y2＋y1 4＋y3＋y2 4－2＋y3 4＝0. 2．(2021·江苏赣榆中学月考)抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率． 解 (1)由条件，可设抛物线的方程为y2＝2px. ∵点P(1,2)在抛物线上， ∴22＝2p×1，得p＝2， 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1. (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB， 那么kPA＝y1－2x1－ 1(x1≠1)，kPB＝y2－2x2－ 1(x2≠1)． ∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补， ∴kPA＝－kPB， 由A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，得 y21＝4x1，① y22＝4x2，② ∴y1－214y21－ 1＝－y2－214y22－ 1， 2 ∴y1＋2＝－(y2＋2)， ∴y1＋y2＝－4， 由①－②得直线AB的斜率 kAB＝y2－y1x2－x 1＝4y1＋y 2＝－44＝－1(x1≠x2)． 3．(2021·江苏常州中学质检)点A(－1,0)，F(1,0)，动点P满足AP→·AF→＝2||FP→. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)在直线l：y＝2x＋2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N.问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由． 解 (1)设P(x，y)，那么AP→＝(x＋1，y)，FP→＝(x－1，y)，AF→＝(2,0)， 由AP→·AF→＝2|FP→|，得2(x＋1)＝ 2x－12＋y2，化简得y2＝4x. 故动点P的轨迹C的方程为y2＝4x. (2)直线l方程为y＝2(x＋1)，设Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 设过点M的切线方程为x－x1＝m(y－y1)，代入y2＝4x，得y2－4my＋4my1－y21＝0， 由Δ＝16m2－16my1＋4y21＝0，得m＝y1 2，所以过点M的切线方程为y1y＝2(x＋x1)，同理过点N的切线方程为y2y＝2(x＋x2)．所以直线MN的方程为y0y＝2(x0＋x)， 又MN∥l，所以2y 0＝2，得y0＝1，而y0＝2(x0＋1)， 故点Q的坐标为??????－12，1. 4．(2021·江苏宝应中学质检)如图，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)两点，T为抛物线的准线与x轴的交点． (1)假设TA→·TB→＝1，求直线l的斜率； (2)求∠ATF的最大值． 解 (1)因为抛物线y2＝4x焦点为F(1,0)，T(－1,0)． 当l⊥x轴时，A(1,2)，B(1，－2)，此时TA→·TB→＝0，与TA→·TB→＝1冲突， 所以设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 3 那么x1＋x2＝2k2＋4k 2，x1x2＝1，① 所以y21y22＝16x1x2＝16，所以y1y2＝－4，② 因为TA→·TB→＝1，所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝1， 将①②代入并整理得，k2＝4，所以k＝±2. (2)因为y1＞0，所以tan∠ATF＝y1x1＋ 1＝y1y21 4＋ 1＝1y1 4＋1y 1≤1，当且仅当y1 4＝1y 1，即y1＝2时，取等号，所以∠ATF≤π 4，所以∠ATF的最大值为π 4. 4 2