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二次函数图象与性质〔1〕
【学习目标】
1.理解二次函数的定义与解析式的三种形式;
2.了解二次函数图像与字母系数的关系.并巩固二次函数的性质.
3.了解二次函数的平移,能够根据条件确定二次函数的解析式.
【知识梳理】
二次函数的定义:形如的函数叫做二次函数。
二次函数解析式的几种形式
〔1〕一般式:,其中a、b、c为常数,.
〔2〕顶点式:,其中a、h、k为常数,.
〔3〕两根式〔交点式〕:,其中a≠0,且x1、x2是.
3.二次函数的性质
函数
对称轴
顶点
坐标
开口方向
增减性
y=ax2
1.a>0时,
二次函数开口向
____;函数有最
_____值
2.a<0时,
二次函数开口向
_____;函数有最
_____值
1.a>0时:
⑴当x<_____时,y随x的增大而_____;
⑵当x>_____时,y随x的增大而_____;
2.a<0时:
⑴当x<_____时,y随x的增大而_____;
⑵当x>_____时,y随x的增大而_____;
y=ax2+c
y=a〔x-h〕2
y=a〔x-h〕2+k
y=ax2+bx+c
4.抛物线的图象与a、b、c之间的关系
a
a>0
a<0
开口,
开口.
b
ab>0
?b=0??
ab<0
对称轴在;
对称轴为;
对称轴在.
简单地说:“左同右异〞
c
c>0?
c=0?
c<0
与y轴_____ 半轴相交;
经过原点?;
与y轴_____ 半轴相交.
5.二次函数与一元二次方程的关系
Δ>0抛物线与x轴;Δ=0抛物线与x轴;Δ<0物线与x轴.
6.二次函数图像的平移规律
从到,抓住顶点从〔0,0〕到〔h,k〕.
【考点解析】
考点一:二次函数的性质
例1.〔某某〕如图,关于抛物线,如下说法错误的答案是〔 〕
A.顶点坐标为(1,);B.对称轴是直线x=1;
C.开口方向向上; D.当x>1时,y随x的增大而减小。
跟踪练习:1.〔2014?某某〕对于二次函数y=〔x﹣1〕2+2的图象,如下说法正确的答案是〔 〕
A. 开口向下B. 对称轴是x=﹣1 C. 顶点坐标是〔1,2〕D. 与x轴有两个交点。
2.〔2014?某某地区〕抛物线y=2x2,y=﹣2x2,共有的性质是〔〕
A. 开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点 D. y随x的增大而减小
3.〔2014?某某〕函数y=与y=﹣kx2+k〔k≠0〕在同一直角坐标系中的图象可能是〔 〕
A
B.
C.
D.
考点二:抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系.
例2.〔2014?莱芜〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如如下图所示.如下结论:①abc>0;②2a﹣b<0;③4a﹣2b+c<0;④〔a+c〕2<b2。其中正确的个数有〔 〕
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
跟踪练习:1.〔2014?某某〕抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D〔﹣1,2〕,与x轴的一个交点A在点〔﹣3,0〕和〔﹣2,0〕之间,其局部图象如图,如此以下结论:①b2﹣4ac<0;
②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为〔 〕
A.
1个
B.
第1题图
第1题图
C.
O3-
O
3
-1
x
y
例3题图
D.
4个
例2
例2题图
考点三:根据条件确定二次函数的解析式.
例3.〔某某〕二次函数的图象如下列图,
它与x轴的一个交点坐标为〔-1,0〕,与y轴的交点坐标为〔0,3〕.
〔1〕求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式;
〔2〕根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值X围.
跟踪练习:1.〔2014?某某〕如图,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A,B两点,它的对称轴与x轴交于点N,过顶点M作ME⊥y轴于点E,连结BE交MN于点F,点A的坐标为〔﹣1,0〕.
〔1〕求该抛物线的解析式与顶点M的坐标.
〔2〕求△EFM与△BFN的面积之比。
2.〔2014?某某地区〕如图,抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点为A〔﹣1,﹣1〕,与x轴交点M〔1,0〕.C为x轴上一点,且∠CAO=90°,线段AC的延长线交抛物线于B点,另有点F〔﹣1,0〕.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕求直线Ac的解析式与B点坐标;
3.〔2014?某某某某〕如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2,0〕,B〔0,﹣1〕和C〔4,5〕三点.〔1〕求二次函数的解析式;
〔2〕设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
〔3〕在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么X围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
考点四:二次函数图像的平移
例4.
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