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曲线的凹凸性与拐点一元分析学经典讲义 一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 (下凸) 凸 (上凸) 凹 上页 返回 下页 定义 则相应地改称“凸函数” 为“严格凸函数”. 上页 返回 下页 引理: 上页 返回 下页 证: 整理后即得证. 由必要性推导逆过程,从(*)得(**). 二、曲线凹凸的判定 定理1 上页 返回 下页 定理2: 上页 返回 下页 例1 解 注意到, 上页 返回 下页 三、曲线的拐点及其求法 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 上页 返回 下页 方法1: 上页 返回 下页 例2 解 凸的 凹的 凸的 拐点 拐点 上页 返回 下页 拐点为 上页 返回 下页 方法2: 例3 解 上页 返回 下页 注意: 上页 返回 下页 例4 解 上页 返回 下页 利用函数的凹凸性可以证明不等式. 例 提示: 上页 返回 下页 例5 证 上页 返回 下页 四、小结 曲线的弯曲方向——凹凸性; 改变弯曲方向的点——拐点; 凹凸性的判定. 拐点的求法1, 2. 上页 返回 下页
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