2021年青荷杯高一数学竞赛试卷.doc

2021年青荷杯高一数学竞赛试卷 2021年青荷杯高一数学竞赛试卷 PAGE / NUMPAGES 2021年青荷杯高一数学竞赛试卷 江西省莲塘一中“青荷杯”高一数学竞赛试卷 一、填空题（每题5分，共50分） 已知集合，，且，则值为 2．设函数，且对任意，则=_____________________。 3.下列说法中，错误是 ①、集合非空真子集个数是7； ②、函数单调递减区间是； ③、已知函数f(x)是定义在R上奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)=x-x4,则当x∈(0，+∞)时， f(x)= -x-x4④、已知f()=x+3，则=。 设O点在内部，且有，则面积与面积比为 5.已知+1是偶函数，则函数图象与轴交点纵坐标最大值是 6．等比数列，，公比是_________。 7.已知是上偶函数，若将图象向右平移一种单位后，则得到一种奇函数图象，若 ，则值为 。 8.= 9.设，n∈N。求最大值 。 10.某学生对函数性质进行研究，得出如下结论： = 1 \* GB3 ①函数在上单调递增，在上单调递减； = 2 \* GB3 ②点是函数图像一种对称中心； = 3 \* GB3 ③函数 图像关于直线对称； = 4 \* GB3 ④存在常数，使对一切实数均成立．其中对的结论是 . 答题卡： 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、解答题（每题10分，共50分） 11. 已知函数（，），且函数最小正周期为． (1)求函数解析式并求最小值； (2)在中，角A，B，C所对边分别为，若=1，,且，求边长． 12.如图，已知点是边长为正三角形中心，线段通过点，并绕点转动，分别交边、于点、；设，，其中，． （1）求表达式值，并阐明理由； （2）求面积最大和最小值，并指出相应、值． 13.数列满足： 证明：（1）对任意为正整数； (2)对任意为完全平方数。 14.已知、是关于二次方程两个根，且，若函数．（Ⅰ）求值；（Ⅱ）递增，对任意正数、， 求证：． 15. 一种正整数，加上100为一种完全平方数，若加上168则为另一种完全平方数，求这个数。 江西省莲塘一中-青荷杯 高一数学 1答案1或—1或0 2解： = 即。 3答案②③④ 4解：如图，设D，E分别是AC，BC边中点，则 由（1）（2）得，，即共线，且 5答案 解：由已知条件可知，，函数图象与轴交点纵坐标为+1。令，则 . 6． 设公比为q，由已知条件知，， 由比例性质，。 7答案-1 8解： ==， 另解：（运用诱导公式配对求和） 9．解：由已知，对任何n∈N，有 ， 又因，故对任意x∈N，有 。 由于，故f（n）最大值为。 10解：为奇函数，则函数在 ，上单调性相似，因此 = 1 \* GB3 ①错； ，因此 = 2 \* GB3 ②错； ，因此 = 3 \* GB3 ③错； ，令，因此 = 4 \* GB3 ④对． 选 = 4 \* GB3 ④ 11、解（１）， 由得，……… 3分 因此， 因此 ………6分[来源:学#科#网] （２）由f(B)= 1得，解得 ………8分 又由知，因此 ………10分 由余弦定理知 =[来源:Z|xx|k.Com] 因此 　　　　　　　　　　　　　　　　　　……… 12分 (或由，解得 ,) 12.解：（1）如图延长AG交BC与F，G为△ABC中心 F为BC中点，则有 ，， 　即………………………………3分 D、G、E三点共线 　　 故 ＝3 ………………………………5分 （2）△ABC是边长为1正三角形， ， S＝mn 由=3，0＜m1,0<n1n=,　　即。………10分 S＝mn＝ 设t=m-则m=t+（）S=mn=（t++） 　易知在为减函数，在为增函数。 t=，即，时，获得最小值， 即S获得最小值…………………15分 又，获得最大值是，