2019年高数中定积分的证明题.doc.pdfVIP

定积分不等式证明方法 一 柯西不等式方法 利用柯西不等式证明的问题经常含有特殊的形态，比如涉及两个积 分项相乘，或者含有函数平方、平方根的积分。 f (x),g(x) [a,b] 柯西不等式 设 在 上连续，则有 b b b  2  2  2 [ f (x)g(x)dx]  f (x)dx g (x)dx a a a 等号成立的充分必要条件是存在常数 使得k f (x)kg(x)或者g(x)kf(x)。注意有些问 题（不一定在不等式证明中）会涉及到等号成立的条件。 b b  2  2 f (x) [a,b] [ f (x)dx] (ba) f (x)dx 例1 设 在 上连续，证明 。 a a 证明 在柯西不等式中设g(x)1，即证。 1 b b f (x) [a,b]  f (x)dx dx(ba)2 例2 设 在 上连续，且恒正，证明 a a f (x) 1 证明 在柯西不等式中设g(x)1，取函数 f (x), ，可证。 f (x) f (x) [a,b](ba) f (a)f (b)0 例3 设 在 上具有连续导数，如果 ，求证 n1 n n 2 b b m (b a )  2  2n 2n [f (x)]dx x f (x)dx a a (n1)2 m f (x)2 [a,b] n0 其中 为 在 上最小值， 。 n n 证明 在柯西不等式中，分别设函数为f (x),x f (x)，有