§6.3　数列的综合问题.pptx

高考数学新高考专用§6.3　数列的综合问题考点清单5.构造法:(1)递推关系形如an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0),可化为an+1+?=p?的形式,利用?是以p为公比的等比数列求解.(2)递推关系形如an+1=?(p为非零常数),可化为?-?=?的形式.考点2　数列的求和2.已知Sn与an的关系:利用an=?求an.考点1　求通项公式　求数列通项公式的常见类型及方法:1.归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法.3.累加法:数列的递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列{f(n)}的前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法.4.累乘法:数列的递推关系形如an+1=g(n)an,其中数列{g(n)}的前n项积可求,此种数列求通项公式时,一般采用累乘法.4.裂项相消法:将数列的通项分成两项的差,即an=f(n+1)-f(n)的形式,然后抵消中间若干项的求和方法.形如?(其中{an}是公差d≠0且各项均不为0的等差数列,c为常数)的数列等.　数列求和的常见类型及方法:1.公式法求和:等差、等比数列直接用求和公式求和.2.倒序相加法:距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法,一般步骤:①求通项公式;②定和值;③倒序相加;④求和.3.错位相减法:形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列求和,一般分三步:①巧拆分;②构差式;③求和.5.分组、并项求和法:分组、并项求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.题型方法一、错位相减法求和1.如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和时,常采用错位相减法.2.用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=1,应用公式Sn=na1.解题思路(1)由基本量法求通项公式;(2)要求Tn,首先需求出an和bn,所以关键是求出bn,条件给出S2n+1=bnbn+1,又S2n+1=(2n+1)·bn+1,从而得到bn=2n+1,这样就得到?=?,然后采用错位相减法求和.解析　(1)设{an}的公比为q,由题意知a1(1+q)=6,?q=a1q2,又an>0,所以解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知S2n+1=?=(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以bn=2n+1.令cn=?,则cn=?.因此Tn=c1+c2+…+cn=?+?+?+…+?+?,又?Tn=?+?+?+…+?+?,两式相减得?Tn=?+?-?,所以Tn=5-?.例1???(2017山东文,19,12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列{an}的通项公式;(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列?的前n项和Tn.易错警示　利用错位相减法求和时,要注意以下几点:(1)错位相减法求和,只适合于数列{anbn},其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列.(2)在等式两边所乘的数是等比数列{bn}的公比.(3)两式相减时,一定要错开一位.(4)特别要注意相减后等比数列的项数.1-1??(2017天津理,18,13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*).解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.(2)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)×4n,故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3