全等三角形培优竞赛讲义(二).pdf

全等三角形培优竞赛讲义（二） 【知识点精读】 1. 全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形； 两个全等三角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 2. 全等三角形的表示方法：若△ ABC 和△ A ′B′C′是全等的三角形，记作 “△ABC ≌△ A′B′C′其中， “≌”读作“全等于” 。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的 字母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 4. 寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的 边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因 此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2 ）根据已知的对应元素寻找 相等的角是对应角，相等的边是对应边；相等的角所对的边是对应边，相等的边所对 的角是对应边；两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析， 可以看出其中一个是由另一个 经过下列各种运动而形成的。 翻折 如图（ 1） BOC ≌ EOD ， BOC 可以看成是由 EOD 沿直线 AO 翻折 180 得到的； 旋转 如图（ 2） COD ≌ BOA ， COD 可以看成是由 BOA 绕着点 O 旋转 180 得到的； 平移 如图 （3 ） DEF ≌ ACB ， DEF 可以看成是由 ACB 沿 CB 方向平行移动而得到的。 5. 判定三角形全等的方法： （1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理 （2 ） 推论：角角边定理 6. 注意问题： （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； （2 ）不能证明两个三角形全等的是， a: 三个角对应相等，即 AAA ；b :有两边和其中一 角对应相等，即 SSA 。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具， 同时也是移动图形位置的工具。 在平 面几何知识应用中， 若证明线段相等或角相等， 或需要移动图形或移动图形元素的位置， 常 常需要借助全等三角形的知识。 精选 【分类解析】 全等三角形知识的应用 （1） 证明线段（或角）相等 例 1：如图，已知 AD=AE,AB=AC. 求证： BF=FC 分析：由已知条件可证出Δ ACD ≌ΔABE ，而 BF 和 FC 分别位于Δ DBF 和Δ EFC 中， 因此先证明Δ ACD ≌Δ ABE ，再证明Δ DBF ≌Δ ECF ，既可以得到 BF=FC. 证明：在Δ ACD 和Δ ABE 中， AE=AD ∠A= ∠A AB=AC. ∴ ΔACD ≌Δ ABE (SAS) ∴ ∠B= ∠C （全等三角形对应角相等） 又 ∵ AD=AE,AB=AC. ∴ AB －AD=AC －AE 即 BD=CE 在Δ DBF 和Δ ECF 中 ∠B= ∠C ∠BFD= ∠CFE （对顶角相等） BD=CE ∴ ΔDBF ≌Δ ECF （AAS ） ∴ BF=FC （全等三角形对应边相等） （2 ）证明线段平行 例 2 ：已知：如图， DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为 E 、F， DE=BF ，AF=CE. 求证： AB ∥CD D C