跟进落实 编号8 不等式与导数（含答案）.docVIP

PAGE PAGE 1 不等式与导数 1. 定义在上的函数满足：恒成立，若，则与的大小关系为（ ） A． B. C. D. 的大小关系不确定 【解析】设， 由题意，所以单调递增， 当时，，即所以 2．已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)已知函数对任意满足，证明：当时，； (3)如果，且，证明：. 【解析】(1)由f(x)＝eq \f(x－1,ex－1)得f′(x)＝eq \f(2－x,ex－1). 令f′(x)＝0，解得x＝2，则x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 增 极大值eq \f(1,e) 减 所以f(x)在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数． 函数f(x)在x＝2时取得极大值f(2)＝eq \f(1,e). (2)证明　因为g(x)＝f(4－x)，所以g(x)＝eq \f(3－x,e3－x). 令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝eq \f(x－1,ex－1)－eq \f(3－x,e3－x) 则F′(x)＝eq \f(2－x,ex－1)－eq \f(2－x,e3－x)＝eq \f(?2－x??e3－e2x－1?,ex＋2). 当x＞2时，2－x＜0,2x－1＞3，从而e3－e2x－1＜0， 则函数F′(x)＞0，F(x)在(2，＋∞)是增函数． 所以F(x)＞F(2)＝eq \f(1,e)－eq \f(1,e)＝0，故当x＞2时，f(x)＞g(x)成立． (3)证明　因为f(x)在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数．x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)， 所以x1，x2不可能在同一单调区间内，不妨设x1＜2＜x2， 由(2)可知f(x2)＞g(x2)，又g(x2)＝f(4－x2)，所以f(x2)＞f(4－x2)， 因为f(x1)＝f(x2)，所以f(x1)＞f(4－x2)， 因为x2＞2,4－x2＜2，x1＜2，f(x)在区间(－∞，2)内为增函数，故x1＞4－x2，即x1＋x2＞4. 3. 已知函数，a为正常数． ⑴若，且a，求函数的单调增区间； ⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，证明：； ⑶若，且对任意的，，都有，求a的取值范围． 解：⑴ ∵a，令得或,∴函数的单调增区间为. ⑵证明：当时 ∴, ∴,又 不妨设 ， 要比较与的大小，即比较与的大小， 又∵，∴ 即比较与的大小． 令,则,∴在上位增函数． 又，∴， ∴，即 ⑶∵ ，∴ 由题意得在区间上是减函数． 当， ∴ 由在恒成立． 设，，则 ∴在上为增函数，∴. 当，∴ 由在恒成立 设，为增函数,∴ 综上：a的取值范围为.