(公用)【全优推荐】千题百炼——高考数学100个热点问题(一重点.doc

2 2 2 2 2 2 例如：(1) sin A si n B-si n As in B = sin C：= a b -ab = c (2) bcosC ccosB=a= sinB cosC sinCcosB=sin A (恒等式) bc sinBsinC = sin2 A 2 2 2 2、余弦定理：a =b c - 2bccos A 2 2 变式：a = b C] -2bc 1 cosA 此公式在已知a, A的情况下，配合均值不等式可得到 （2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式： sin A 二 B 二 sin AcosB 二 sin BcosA J cos A _ B = cosAcos X〉 6、 辅助角公式：as in A bcosB = , a2 b2 sin A 亠匚],其中 tan \ /Ok、 7、 三角形中的不等关「 （1） 任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比 第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2） 在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： a b = A B：= si nA sinB= cosA ： cosB 其中由A - B= cosA ：：： cosB利用的是余弦函数单调性，而 A - B：= si nA - sinB仅在 个三角形内有效。 &解三角形中处理不等关系的几种方法 （1） 转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而 将问题转化为求函数的值域 （2） 利用均值不等式求得最值 二、例题精析： b c 例1 ：△ ABC各角的对应边分别为 a, b,c，满足 + —二％ ，则角A的范围是 a+c a+b A . （0,R B. （0,R C.［訂） 3 6 3 b c 思路：从所给条件入手，进行不等式化简： 1 a+c a+b — — 2 2 2 =b a b c a ^:： i a c a • b = b c - a bc,观察到余弦定理公式特征，进  .B , ,sin i B ,1 6 16 6 .丿 V 「’ b 心 |6,12] 例3:在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2bcosC=：2a-c （1） 求角B （2） 求sin As in C的取值范围 ?LABC为锐角三角形"BOJ 0 ■ A ：： — 2 2- 0 A 3 — JI < — 2 ji —< 6 A ::- 2 兀 A-- •丄 IsinAsinC 6 2  小炼有话说：要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而 足锐角的条件也由 A来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点: 范围，则这个范围由主元承担。 例4:在LABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c，已知sin A sinC = psinB p R ， 且ac=】b 4 5 (1) 当p ,b =1时，求a,c的值 4 (2) 若角B为锐角，求p的取值范围 5 5 5 1 解：(1) si nA si nC sin B= a c b ac = - 4 4 4 4 . a」 1或 4 c 二 4 c=1 (2)思路：以“角 B为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而 a+c = pb, ac = ^b2也刚好 4 V 得到p与cosB的关系式，再由0 ：：： cosB ::: 1可解得p的范围 解：考虑余弦定理 b2 二 a2 • c2 -2accosB = a • c $ - 2ac 1 cosB  例5:若. ABC的内角满足sin A . 2 sin B二2sin C，则cosC的最小值是 2 +b? _ 2 思路：所求cosC的最值可想到 余弦定理用边进行表示，cosC =空 b -，考虑 2ab sin A • sinB二2 siC角化边得到：a • 2b =2c，进而消去c计算表达式的最值即可 2轄一 2 a c 由 sinA + V2sin B = 2sin C 可得：a + V2b = 2c a + V2b c 二 2 '2  -2 .8b 4a sin A B sinAcosB sinBcosA小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关 系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分 式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是 B，所以在求 表达式范围时将 A,C均用B来进行表示，以便于求得值域。 2 例7 :已知| ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且a2 b^ c2 ab，若| ABC的 3 外接圆半径