相似三角形的判定及证明技巧讲义.pdf

相似三角形（三） 知识点（一）：相似三角形的证明技巧 1. 相似三角形的基本图形 2. 相似三角形判定定理（ 3 条） 3. 相似三角形的具体解题方法 1. “三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是： 先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若 能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定” ；若不能，再看每个比的前后 两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形， 则只要证明这两个 三角形相似就行了，这叫做“竖定” 。 例 1、已知 : 如图△ ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证 :AE?AB=AC?AF. （判断“横定”还是“竖定”？ ） 例2、如图，CD是Rt △ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交 BC、CD于点 E、F，AC·AE=AF·AB 吗？说明理由。 分析方法： 1）先将积式 ______________ 2 ）______________ （ “横定”还是“竖定”？ ） 精选 练习 1. 已知：如图，△ ABC中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线交 AB于 D，交 BC延长线于 F。 2 求证： CD=DE·DF。 A D E F B C 2. 过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用 过渡“ ”，其主要类型有 三种，下面分情况说明． (1)等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时， 即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一 条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似， 那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没 有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问 题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例 1：如图 3，△ABC 中，AD 平分∠ BAC， AD 的垂直平分线 FE交 BC的延长线于 E．求证： 2 ＝BE·CE． DE (2)等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑 利用第三组线段的比为比例式搭桥， 也就是通过对已知条件或图形的深入分析， 找到与求证 的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。 例 2 ：如图 4 ，在△ABC 中，∠ BAC=90°，AD⊥BC，E是 AC 的中点， ED交 AB 的延长线于点 F． AB DF 求证： ． AC AF 精选 （3）等积过渡法（等积代换法） 思考问题的基本途径是： 用三点定形法确定两个三角形， 然后通过三角形相似推出线段成比 例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换， 然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。 例 3：如图 5，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的高， G 是 DC延长线上一点，过 B