浙江师范大学《初等数论》考试卷(A1卷).pdf

浙江师范大学《初等数论》考试卷（ A1 卷） （20017—— 2018 学年第一学期） 考试类别 使用学生数学专业 ** 本科 考试时间 120 分钟表 出卷时间 * 年* 月* 日 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。 一、填空（ 30 分） 74 1、d （1000）= 。 φ（1000）= 。 ( 101 )=______ 。 2、 ax+bY=c 有解的充要条件是 。 2002 3、 2002 被 3 除后余数为 。 4、[X]=3 ，[Y]=4 ，[Z]=2 ，则 [X — 2Y+3Z] 可能的值为 。 n 5、 φ（1）＋ φ（P）＋… φ（P ）= 。 6、高斯互反律是 。 7、两个素数的和为 31 ，则这两个素数是 。 8、带余除法定理是 。 答案 1、 16．2340 ， 1 2、（a，b ）|c 3、 1 4、3 ，4，5，6 ，7 ，8，9 ， 10，11 n 5、 p p 1q 1 q 2 2 p ( ) ( 1) ( ) 6、 p q ，p，q 为奇素数 7、2，29 8、a，b 是两个整数， b>0,则存在两个惟一的整数 q，r 使得 a bq r ,0 r b 二、解同余方程组（ 12 分） x 2(mod 12) x 6(mod 10) x 1(mod 15) 答案 解：因为（ 12，10）|6- （-2 ），（10，15）|6-1，（12，15）|1- （-2 ） 所以同余式组有解 x 2(mod 4) x 2(mod 3) x 6(mod 2) x 6(mod 5) x 1(mod 3) 原方程等价于方程 x 1(mod 5) x 2(mod 4) x 2(mod 3) 即 x 1(mod5) 由孙子定理得 x 46(mod 60) 三、 A 、叙述威尔逊定理。 B ．证明若 (m 1)! 1 0(mod m) ，则 m 为素数（ 10 分） 答案 A．( 威尔逊定理 ) 整数 是素数，则 证：若 m不是素数，则 m=ab， 1 a ,b m ，则 a | (m 1)! ,a | (m 1)! 1 ，则有 a | 1 不可能，所以 m是素数。 4 四．解方程 x 7x 4 ≡0 （mod ２７） （10 分） 答案 解：由 x 4 7x 4 ≡0 （mod3 ）得 x 1(mod 3) 得 x=1+3t 代入 x4 7x 4 ≡0 （mod9 ）有 11t 1(mod 3) 有 t 1 3t 1 代入 x=1+3t 得 x 4 9t1 代入 x 4 7x 4 ≡0 （mod27 ）有 t 1 2(mod3) t 1 2 3t 2 代入有 x 22 27t2