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多元线性回归模型及假定 多元线性回归模型及假定 多元线性回归模型及假定 适用文案 第三章 多元线性回归模型 基本要求： 1、理解多元线性回归模型的定义 2、理解多元线性回归模型的假定 3、掌握参数预计的计算 4、理解参数统计性质 第一节 多元线性回归模型及假定 一、多元线性回归模型 很多经济现象常常要受多个要素的影响，研究被解说变量受多个解说变量的影响，就要利用多元回归模型。 多元线性回归模型与一元线性回归模型基本近似，只可是解说变量由一个增添到两个以上，被 解说变量 Y 与多个解说变量 X 1 , X 2 , , X k 之间存在线性关系。 假定被解说变量 Y 与多个解说变量 X1 , X 2 , , X k 之间拥有线性关系，是解说变量的多元线性 函数，称为多元线性回归模型。即 Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k (3-1) 此中 Y 为被解说变量， X j ( j 1,2, , k ) 为 k 个解说变量， j ( j 0,1,2, ,k ) 为 k 1个未知参数， 为随机偏差项。 被解说变量 Y 的希望值与解说变量 X 1, X 2 , , X k 的线性方程为： E(Y) 0 1 X1 2 X 2 k X k (3-2) 称为多元整体线性回归方程，简称整体回归方程。 关于 n 组观察值 Yi , X1i , X 2i , , X ki (i 1,2, , n) ，其方程组形式为： Yi 0 1 X1i 2 X 2 i k X ki i ,( i 1,2, , n) (3-3) 即 Y1 0 1X 11 2X21 k X k11 Y2 0 1X12 2X22 k X k2 2 Yn 0 1 X 1n 2 X 2n k X kn n 其矩阵形式为 标准 Y 的均值的影响。 Y1 1 X 11 X 21 X Y2 1 X12 X 22 X = Yn 1 X 1n X 2n X  适用文案 0 k1 1 1 k2 2 + kn n k 即 Y X β μ (3-4) 此中 Y1 1 X 11 X Yn 1 Y2 为被解说变量的观察值向量； X n ( k 1) 1 X12 X Yn 1 X1n X 0 1 1  21 22 2 n  X X X  k1 k2 kn  为解说变量的观察 值矩阵； β 为整体回归参数向量； μ 2 为随机偏差项向量。 ( k 1) 12 n 1 n k 整体回归方程表示为： E( Y) X β (3-5) 与一元线性回归剖析同样，多元线性回归剖析还是依据观察样本预计模型中的各个参数，对预计参数及回归方程进行统计查验，进而利用回归模型进行经济展望和剖析。多元线性回归模型包括 多个解说变量，多个解说变量同时对被解说变量 Y 发生作用，若要观察此中一个解说变量对 Y 的影响就一定假定其余解说变量保持不变来进行剖析。所以多元线性回归模型中的回归系数为偏回归系数，即反应了当模型中的其余变量不变时，此中一个解说变量对因变量 因为参数 0 , 1, 2 , , k 都是未知的 , 能够利用样本观察值 ( X1i , X 2 i , , X ki ;Yi ) 对它们进行 预计。若计算获得的参数预计值为 ?0, ?1, ?2 , , ?k ，用参数预计值代替整体回归函数的未知参数 0 , 1, 2, , k ，则得多元线性样本回归方程： ? ? ? ? ? (3-6) Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X kn 此中 ? 0,1,2, , k) 为参数预计值， ? 1,2, , n) 为 Yi 的样本回归值或样本拟合值、样本估 j ( j Yi (i 计值。 其矩阵表达形式为 : ? ? (3-7) Y X β 标准 适用文案 ? Y1 ? ? Y2 为 被 解 释 变 量 样 本 观 测 值 向 量 Y 的 n 1 阶 拟 合 值 列 向 量 ； 其 中 Yn 1 ? Yn 1 X11 X 21 X k1 X n ( k 1) 1 X12 X 22 X k 2 为 解 释 变 量 X 的 n (k 1)阶样本观察矩阵； 1 X 1n X 2n X kn ? 0 ? ? 1 ? 为未知参数向量 的 (k 1) 1阶预计值列向量。 β 2 ? k 样本回归方程获得的被解说变量预计值 ? 与实质观察值 Yi 之间的偏差称为残差 ei 。 Yi ei Yi ? ? ? X1i ? ? (3-8) Yi Yi ( 0 1 2i ki Xki ) 二、多元线性回归模型的假定 与一元线性回归模型同样， 多元线性回归模型利用一般最小二乘法 (OLS)对参数进行预计时， 有 以下假定： 假定 1 零均值假定： E(