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【高三】江苏省2021 年高考数学试卷 2021 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。请把答案填写在答题卡相 印位置上。 1、函数 的最小正周期为 ▲ 2、设 （为虚数单位），则复数 的模为 ▲ 3、双曲线 的两条渐近线的方程为 ▲ 4、集合 共有 ▲ 个子集 5、右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是 ▲ （流程图暂缺） 6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的5 此训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员第一次第二次第三次第四次第五次 甲8791908993 乙 8990918892 则成绩较为稳定（方程较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲ 7、现在某类病毒记作 ，其中正整数 ， （， ）可以任意选取， 则 都取到奇数的概率为 ▲ 8、如图，在三棱柱 中， 分别是 的中点，设三棱锥 的体积为 ，三棱柱 的体 积为 ，则 ▲ 9、抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 （包含 三角形内部和边界）。若点 是区域 内的任意一点，则 的取值范围是 ▲ 10、设 分别是 的边 上的点， ， ， 若 （为实数），则 的值为 ▲ 11、已知 是定义在 上的奇函数。当 时， ，则不等式 的解 集用区间表示为 ▲ 12、在平面直角坐标系 中，椭圆 的标准方程为 ，右焦点为 ， 右准线为 ，短轴的一个端点为 ，设原点到直线 的距离为 ， 到 的距离为 ， 若 ，则椭圆 的离心率为 ▲ 13、在平面直角坐标系 中，设定点 ， 是函数 （）图象上一动点， 若点 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为 ▲ 14、在正项等比数列 中， ， ，则满足 的 最大正整数 的值为 ▲ 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（本小题满分 14 分） 已知 ， 。 （1）若 ，求证： ； （2）设 ，若 ，求 的值。 16、（本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，过 作 ，垂足为 ， 点 分别是棱 的中点。 求证：（1）平面 平面 ； 17、（本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 。 设圆 的半径为 ，圆心在 上。 （1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线， 求切线的方程； （2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐 标 的取值范围。 18、（本小题满分 16 分） 如图，游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径。一种是从 沿直线步行到 ， 另一种是先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 。现有甲、乙两位游客从 处下 山，甲沿 匀速步行，速度为 。在甲出发 后，乙从 乘缆车到 ，在 处停留 后，再从匀 速步行到 。假设缆车匀速直线运动的速度为 ，山路 长为 ，经测量， ， 。 （1）求索道 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？ 19、（本小题满分 16 分） 设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和。记 ， ， 其中 为实数。 （1）若 ，且 成等比数列，证明： （）； （2）若 是等差数列，证明： 。 20、（本小题满分 16 分） 设函数 ， ，其中 为实数。 （1）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值范围； （2）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。