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高二第二学期 复数的模与共轭
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复数的模与共轭
【知识梳理】
复数的模的性质
复数积与商的模
设是两个复数, 则有:
; .
特别地, .
复数加减法的几何意义
设有复数, 在复平面上对应的点分别为,
复数的加减法的几何意义为向量的和与差, 如右图所示:
两个复数差的模的几何意义为复平面上两点间的距离.
三角不等式
对于复数有:
,
其几何意义是三角形两边之和大于第三边; 上述不等式取等号时, 复数所对应的向量共线.
复数的共轭
与四则运算的交换律
将取共轭看作是一种复数的运算, 则取共轭与复数的四则运算可交换:
, , , .
共轭复数的基本性质
设是一个复数, 是其共轭复数, 则:
; ; ; ; ;
是一个实数;
是一个纯虚数且.
【典型例题】
已知, 求.
复数的模的最大值与最小值
已知复数的模为4, 求的最大值.
已知复数满足, 求的最小值和最大值.
已知复数满足, 求的最大值.
已知复数, 求的最大值和最小值.
求复数?, 使得, 求, 且.
设复数?满足, 且不是纯虚数, 求证: .
已知复数, .
求证: 是纯虚数;
求的取值范围.
设?是虚数, 是实数, 且.
求的值及的取值范围;
设, 求证: 为纯虚数;
求的最小值.
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