理学高等数学9二重积分.pptx

理学高等数学9二重积分会计学高柱体体积=底面积×一、问题的提出１．曲顶柱体的体积特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．播放步骤如下：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，曲顶柱体的体积２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量二、二重积分的概念面积元素被积表达式积分区域积分变量被积函数积分和对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．D 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则面积元素为故二重积分可写为当 为常数时，三、二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）性质１性质２若 为D的面积，对区域具有可加性性质３性质４性质５若在D上则有特殊地性质６（二重积分估值不等式）性质７（二重积分中值定理）解解解解四、小结二重积分的定义（和式的极限）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）二重积分的性质思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.思考题解答 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．练 习 题练习题答案 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．其中函数 、 在区间 上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分如果积分区域为：［X－型］应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得如果积分区域为：［Y－型］ X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式解积分区域如图解积分区域如图解原式解解解解曲面围成的立体如图.二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式［X－型］［Y－型］（在积分中要正确选择积分次序）思考题思考题解答练 习 题练习题答案一、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图极坐标系下区域的面积解解解解解解二、小结二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）思考题思考题解答练 习 题练习题答案 一、二重积分的换元法例1解例2解 二、小结基本要求:变换后定限简便，求积容易．思考题思考题解答练 习 题练习题答案 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内．这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.卫星二、曲面的面积１．设曲面的方程为：如图，曲面S的面积元素曲面面积公式为：同理可得２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：解在 平面上的投影域为解解方程组得两曲面的交线为圆周六、小结几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）思考题薄片关于 轴对称思考题解答一、主要内容定 义二重积分几何意义性 质计算法应 用1、二重积分的定义２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．当 为常数时，３、二重积分的性质性质１性质２若 为D的面积对区域具有可加性性质３性质４性质５若在D上，特殊地性质６性质７（二重积分中值定理）４、二重积分的计算（１）直角坐标系下　［X－型］ X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两