数学专业毕业论文二次曲线方程的化简及应用.doc

二次曲线方程的化简及应用 作 者：。。。 0 引言 二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是《解析几何》课程教学的一个难点.文献[1]给出的化简方法（坐标变换法和不变量法）各有优缺点，具有一定的局限性.为此，文献[2-4]利用参数法将坐标变换和主直径有机地结合起来，给出方程化简第一种较简便的方法；文献[5]和文献[6]从坐标变换下二次曲线方程系数变化规律入手，给出了第二种新的化简方法；文献[7]借助多项式可约性及因式分解给出第三种化简方法；文献[8]和文献[9]分别利用矩阵理论及六元非线性方程给出了另外两种化简方法.但文献给出的化简方法均未涉及到方法之间的内在联系.本文归纳总结了二次曲线方程的一般化简方法，进一步探讨了坐标变换法和不变量法的内在联系，在文献[2]的基础上通过进一步论证，又得到了三个新的定理，并借助实例，探究了这种方法在问题过程中的具体应用. 1 预备知识 定义 定义1 在平面上,由二次方程 （*） 所表示的曲线,叫做二次曲线. 定义2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做. 定义3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换. 定义4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量. 定义5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径. 直角坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律 .1 移轴对二次曲线方程系数的影响规律 二次曲线方程（*）在移轴公式下,其中表示平面内一点的旧坐标,表示点的新坐标, 表示新坐标系的原点在旧坐标系下的坐标,二次曲线方程系数分别为: 由此可知系数变化规律为： 1）二次项系数不变； 2）一次项系数变为,； 3) 常数项变为. 根据上述规律，通过计算可以得到： ， , . .2 转轴对二次曲线方程系数的影响规律 二次曲线方程(*)在转轴公式下,其中, 为坐标轴的旋转角. 二次曲线方程系数分别为： 由此可知系数变化规律为： 1）二次项系数的变化仅与原方程的二次项系数和转角有关； 2）一次项系数的变化仅与原方程的一次项系数和转角有关，特别是，当原方程无一次项时，转轴后也无一次项； 3）常数项不变. 根据上述规律，通过计算可以得到： ， 2 二次曲线方程的化简方法 参数法 若（）为中心二次曲线，其中心为 则过的任一直线的参数方程为 将上式代入得： 其中 引理 设为中心二次曲线 若定号：当时，二次曲线为实椭圆，方程可化简为 当时，二次曲线为虚椭圆； 当时，二次曲线为点椭圆. 若变号：当时，二次曲线为双曲线，方程可化简为 当时，二次曲线为两相交直线. 例1 化简二次曲线方程. 解 由于,故二次曲线为椭圆型中心曲线. 解 得 即二次曲线的中心为坐标原点. 设过中心的任一直线的参数方程为，其中t为参数． 将参数方程代入二次曲线的原方程得 令 当，即， 当，即， 故， 即原方程化简为. 不变量法 引理 如果, 则二次曲线（*）为中心曲线，那么它的方程总可以化简为 () 其中，,为二次曲线特征方程的两个根. 如果, 则二次曲线（*）为无心曲线，那么它的方程总可以化简为 如果,则二次曲线（*）为线心曲线，那么它的方程总可以化简为 其中， 例2 (1) 化简. 解 由题意可得 所以二次曲线为无心曲线,由不变量法知可化简为 . 即或. (2) 解 由题意可得 所以二次曲线为中心二次曲线， 而主方向特征方程为 , 即, 所以 故由不变量法可知二次曲线可化简为 (3) 解 由题意可得 所以二次曲线为线心二次曲线, 又 所以由不变量法可化简为 用不变量法化简二次曲线，可直接由公式得到化简方程,计算比较简单，但无法确定二次曲线在坐标系中的确切位置,故还不能直接由此做出图形,仍需要进一步的确定计算. 2.3　坐标变换法 .1 利用系数的影响规律化简方程 当时，二次曲线为中心二次曲线，其中心满足 根据移轴对二次曲线方程系数的影响规律，若取为坐标原点，则二次曲线方程可化简为： 其中 由此可知中心二次曲线的化简一般是先移轴后转轴. 当时，即（*）为非中心二次曲线,如果时，取转角满足 ， 使得 从而消去方程中的交叉项，由此可知非中心二次曲线的化简一般是先转轴后移轴. 例3 化简,并作出几何草图. 解 因,故曲线为中