任意角的三角函数教学案例解读.doc

任意角的三角函数教学案例解读 任意角的三角函数教学案例解读 PAGE / NUMPAGES 任意角的三角函数教学案例解读 任意角的三角函数 教学案例 教学目标： 理解并掌握任意角的三角函数的定义 理解并掌握各三角函数在各象限的符号教学重点： 任意角三角函数的定义教学难点： 利用定义计算任意角的三角函数值授课类型： 新授课 根据新课程改革的基本理念， 我准备在教学过程中从问题情境出发， 让学生进行观察、操作、探究从而感受数学，然后引导学生去发现数学、建构数学，使 他们在这种过程中感悟并获得数学知识与思想方法， 最终能运用所学的知识去解决实际问题。 一 问题情境 问题 1 求 sin 30 的值。 1 师： sin 30 等于多少？ 生：等于 。 我们知道， 30 是一个锐角，在初中，我们是如何定义锐角三角函数的？ 复习锐角三角函数的定义： 在 Rt ABC 中， sin A  a ，cos A  b  , tan A  a  。 c c b 前面我们把角的概念推广到了任意角。那么如何求任意角的三角函数值呢？ 问题 2 求 sin300 的值。 师：怎么办？在直角三角形中能表现 300 这个角吗？还能不能在直角三角形来求这个值？ 生：不能在直角三角形中求出来。 师：对，显然，不能再用初中的定义，因为，这里没有直角三角形，也就没 有什么对边、 邻边和斜边。 那么，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行推广。 这就是我们本节课要研究和解决的问题。 二 建构数学 【学生操作】 课件 1 打开课件 1，观察任意角 α的终边分别位于不同位置时，三个比值的变化情 况。（请同学们仔细观察这个课件的演示情况，对我们以后的学习将有很大的帮 助。） 【教师总结】 随着 α的终边在轴上及各象限内变化，三个比值也随着变化；且对于任何一 个确定的角，每一个比值都是唯一确定的（终边在 y 轴上时， y/x 除外），根据函 数的定义，它们实际上构成了以角为自变量、 以比值为函数值的函数。 我们把它们分别叫做任意角的正弦、余弦、正切函数。 对课件 1 的说明： 随着 α的终边在轴上及各象限内的变化， 利用几何画板的动态演示和度量功 能，展示三个比值的变化情况。 学生通过对课件 1 的操作，将新授的抽象内容形 象化，有利于学生准确理解和掌握新知识； 它也能为以后学习 （三角函数的定义 域、值域、三角函数值的符号、单调性、奇偶性、对称性、周期性）作铺垫。 （一）任意角的三角函数的定义 根据在平面直角坐标系中研究角的做法， 以角的顶点为坐标原点， 以它的始 边为 x 轴的非负半轴，建立直角坐标系。设任意角 的终边上任意一点 P 的坐标 为 ( x, y) ，它与原点的距离是 r （ rx2 y2 0 ）。 当 为锐角时，过点 P 作 x 轴的垂线 PM ， 为垂足，则 PM y ， OM x ， M OP x2 y2 r 0 ，所以，在 Rt OPM 中， sin y ， cos x ， tan y 。 r r x sin ， cos ， tan 的值与 P 点的选择无关。想一想，为什么？ 事实上，我们在角的终边上另取一点 P ，，过点 P 作 x 轴的垂线 P M ， M 为 垂足， 则 PM y ， OM x ， OP x2 y2 r 0 ，可 以证明 OPM ∽ OP M ，从而 sin y y ， cos x x ， tan y y 。 r r r r x x 一般地，对任意角 ，我们规定： （ 1） 比值 y 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y ； r r （ 2） 比值 x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； r r （ 3） 比值 y （ x 0 ）叫做 的正切，记作 tan ，即 tan y ； x x 对于确定的角 ，比值 y 和 x 都惟一确定，故正弦和余弦都是角 的函数， r r 当 k （ k Z ），角 的终边在 y 轴上，故有 x 0 ，这时 tan 无意义。 2 k ）（ k Z ），比值 y 也是惟一确定的， 除此之外，对于确定的角 （ 2 x 故正切也是角 的函数。以上三种函数，都称为三角函数。 说明：这样定义以后， （1）当 是锐角时，此定义与初中定义相同。（指出对边， 邻边，斜边所在） （2）当 2k （ k Z ）时， 与 的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 （二）正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号规律。 首先，在第一象限内讨论，由定义知，正弦函数值的符号与 y 的符号相同， 而在第一象限内， y 0 ，因此，在第一象限内， sin 0 ；同理，余弦函数值的 符号与 x 的符号相同， x 0 ，