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最小二乘法在误差分析中的应用 最小二乘法在误差分析中的应用 最小二乘法在误差分析中的应用 误差理论综述与最小二乘法讨论 摘要:本文对误差理论与有关数据处理的方法进行综述。并且针对最小二乘法(LS)的创立、发展、思想方法等相关方面进行了研究与总结。同时,将近年发展起来的全面最小二乘法(TLS)同传统最小二乘法进行了对比。 误差的有关概念 对科学而言,各种物理量都需要经过测量才能得出结果。许多物理量的发现,物理常数的确定,都就是通过精密测量得到的。任何测试结果,都含有误差,因此,必须研究,估计与判断测量结果就是否可靠,给出正确评定。对测量结果的分析、研究、判断,必须采用误差理论,它就是我们客观分析的有力工具 1、1测量基本概念 一个物理量的测量值应由数值与单位两部分组成。按实验数据处理的方式,测量可分为直接测量、间接测量与组合测量。 直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。 间接测量:有些物理量无法直接测得,需要依据待测物理量与若干直接测量量的函数关系求出。 组合测量:如有若干个待求量,把这些待求量用不同方法组合起来进行测量,并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组,用最小二乘法求出这个待求量的数值,即为组合测量。 1、2误差基本概念 误差就是评定测量精度的尺度,误差越小表示精度越高。若某物理量的测量值为y,真值为Y,则测量误差dy=y-Y。虽然真值就是客观存在的,但实际应用时它一般无从得知。按照误差的性质,可分为随机误差,系统误差与粗大误差三类。 随机误差: 就是同一测量条件下,重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。 系统误差: 就是同一测量条件下,重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。 粗大误差: 指超出在规定条件下预期的误差。 1、3等精度测量的随机误差 当对同一量值进行多次等精度的重复测量,得到一系列的测量值,每个测量值都含有误差,这些误差的出现没有特定的规律,但就误差的总体而言,却有统计规律。 1、3、1正态分布 通过对大量的测量数据的观察,人们发现测量列的随机误差有以下几个特征: 绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等,即误差的对称性; 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多,即误差的单峰性; 在一定的测量条件下,随机误差的绝对值不会超过一定界限,即误差的有界性; 随着测量次数的增加,随机误差的算术平均值趋于零,即误差的抵偿性。 正态分布曲线如下图1-1所示。正态分布时区间(μ-σ,μ+σ)的面积占总面积的68、27%; (μ-1、96σ,μ+1、96σ)的面积占总面积的95%;区间(μ-2、58σ,μ+2、58σ)的面积占总面积的99%。 图1-1、正态分布曲线 t分布 t分布就是小样本分布,小样本分布一般就是指n30。t分布适用于当总体标准差σ未知时用实验标准差s代替总体标准差σ,由样本平均数推断总体平均数以及2个小样本之间差异的显著性检验等。关于t分布的早期理论工作,就是英国统计学家威廉·西利·戈塞特 (wiliamsealy Gosset)在 1900年进行的。 1、4系统误差 系统误差就是由固定不变的或按某种规律变化的因素造成的,这些误差因素可能就是由于: (1)测量装置的原因:仪器设计上的缺欠,仪器零件制造与安装的不正确,仪器附件的制造偏差。 (2)测量环境的原因:测量过程中温度、湿度等按一定的规律变化。 (3)测量方法的原因:采用近似的测量方法或近似的计算公式引起的误差。 (4)测量人员的原因:由于测量人的个人特点导致的测量误差。 系统误差具有确定的规律性,这与随机误差有根本区别。 对于测量中存在的较为显著的系统误差,可以通过一些检验方法与手段发现。如:1、 通过实验对比检验系统误差;2、通过理论分析判断系统误差;3、 对测量数据进行直接判断;4、 用统计方法进行检验。 1、5粗大误差 测量数据中包含随机误差与系统误差就是正常的,只要测量误差在一定的范围内,测量结果就就是正确的。但当测量者在测量时由于疏忽造成错误读取示值,错误纪录测量值,错误操作以及使用有缺欠的计量器具时,会出现粗大误差,此数据的误差分量明显偏大,即明显歪曲测量结果。 对于粗大误差,有以下几种判别方法: (1)莱依特准则(3σ准则): 若对某一物理量等精度重复测量n次,得测量值,如果某测得值的残差大于3倍的标准差,即|v|3σ,该数据为异常数据,应剔除。莱依特准则的合理性就是显然的,对服从正态分布的随机误差,其残差落在(-3σ,3σ)以外的概率仅为0、27%,当在有限次测量中发生的可能性很小,认为就是不可能发生的。 (2)肖维勒准则: 若对某一物理量等精度重复测量n次,得测量值,若认为为可疑数据,若此数据的残差|v|Zσ,则此数据为异常数,应剔除。实用中Z3,这在一定程度上弥补了3σ准