立体几何专项练习 高一数学复习.docxVIP

中学立体几何专项练习 1．空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝eq \f(|u·v|,|u||v|) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝eq \f(|u·n|,|u||n|) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝eq \f(|n1·n2|,|n1|·|n2|) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 2．空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P?l，设eq \o(AP,\s\up8(→))＝a，则点P到直线l的距离d＝eq \r(|a|2－?a·u?2) 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P?α，则点P到平面α的距离为d＝eq \f(|\o(AP,\s\up8(→))·n|,|n|) 【例1】在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 【例2】如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq \r(3).求点A到平面MBC的距离． 【例3】如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝eq \f(π,3)，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 　【例4】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值． 　【例5】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值． 提升训练 1．如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知圆柱，在圆上，，，、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点Q为平面ABC内的动点，且满足，记直线PQ与直线AB的所成角为，则的取值范围为___________. 4．如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________. 5．在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，是边长为2的正三角形，，分别为，的中点. （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得锐二面角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 6．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，. （1）证明：平面； （2）若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 7．已知正方形的边长为2，沿将折起至位置（如图），为的重心，点在边上，且． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 8．如图所示的几何体，其中底面ABCD是以CD为高的直角梯形，∠ADC=90°，AD=CD=1，BC=2，SA⊥底面ABCD，连接SC，SB，SD． （1）求二面角B-SA-D的角度 （2）若SA=a，求面SAB与面SDC所成角的余弦值与a的关系，并求出余弦值的取值范围 9．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为棱上一点，与交于点，且，，，． （1）证明：； （2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由． 10．如图，在三棱柱中，为正三角形，，，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 11．如图所示，已知长方形中，，为的中点，将沿折起，使得． （1）求证：平面平面； （2）若点满足，求二面角的大小？