两个随机变量函数的分布.ppt

《概率统计》 下页 结束 返回 §3.3 二维随机变量函数(hánshù)的分布 已知（X，Y）的分布(fēnbù)，求其函数 Z= g (X,Y)的分布(fēnbù) 内容(nèiróng)： 要点： 一、离散型 二、连续型（和的分布） 要求： 掌握基本方法 下页 第一页，共26页。 一、离 散 型 例1． 已知（X, Y ) 的联合(liánhé)分布律 -1, 0, 2, 3, 5, 且 求 Z = X+Y的概率分布. 解： Z = X + Y 的所有(suǒyǒu)可能取值为： P{Z= -1}=P{X+Y= -1}=P{X= -1，Y=0}=1/10 P{Z= 0}=P{X+Y=0}=P{X= -1，Y=1}=1/20 P{Z= 2}=P{X+Y=2}=P{X= -1，Y=3}+P{X=2，Y=0}= 3/20+3/10 pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10 Z -1 0 2 3 5 1/10 1/20 3/20 3/10 0 4/10 -1 2 0 1 3 X Y 问题(wèntí)：Z = XY 的概率分布？ 下页 第二页，共26页。 已知X和Y的联合(liánhé)密度为 f (x,y),求Z=g(X,Y)的密度. Z=X+Y的分布(fēnbù)函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z) 这里(zhèlǐ)积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面. (一) Z = X + Y 的分布 二、连 续 型 下页 第三页，共26页。 化成(huà chénɡ)累次积分,得 固定(gùdìng)z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得 变量(biànliàng)代换 交换积分次序 下页 第四页，共26页。 由概率密度与分布(fēnbù)函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 以上两式即是两个随机变量(suí jī biàn liànɡ)和的概率密度的一般公式. 下页 第五页，共26页。 当X和Y独立，设(X,Y)关于(guānyú)X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: 这两个公式(gōngshì)称为卷积公式(gōngshì) . 下面(xià mian)我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度 下页 卷积公式 . 第六页，共26页。 解 X 、Y 的概率密度 例2 设X、Y的相互(xiānghù)独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，求 Z=X+Y的分布。 下页 第七页，共26页。 ?  z-1 0 z 1 2 u 0 z-1 1 z 2 u 当0≤z≤1时， fZ(z) = 当1＜z＜2时， fZ(z) = 所以(suǒyǐ) 法一 下页 第八页，共26页。 下页 法二 第九页，共26页。 例3 设X和Y是两个互相独立(dúlì)的随机变量，且X～N（0，1），Y ～N（0，1），求Z = X +Y 的概率密度。 解 由于X、Y互相独立(dúlì)，由卷积公式 即 Z=X+Y～N（0，2） 下页 第十页，共26页。 （2）如果(rúguǒ)Xi(i=1,2,…,n)为 n 个互相独立的 随机 变量，且 Xi ~ N( μi，σi2)，则 一般地（1）若X1~ ，X2~N ， 且X1、X2相互独立，则有 X1+X2~N 注意(zhù yì)： 1. 卷积公式(gōngshì)的条件及选择； 2. 一般地，如求 XY，X/Y，max(X,Y) 可考虑分布函数法 下页 第十一页，共26页。 （二）Z= X/Y 与 Z=XY 的概率分布 设（X、Y）是二维连续型随机(suí jī)向量，概率密度为f(x,y) 求 Z=X / Y的概率分布。 解 故Z=X / Y的概率密度为 特别(tèbié)地，当X、Y相互独立时有 x/y=z 下页 第十二页，共26页。 补充例1. 设X,Y相互独立服从同一(tóngyī)分布,且P{X=i}=1/3 (i=1,2,3) 令Z=m