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所以，倒格矢 所以，倒格矢Gh hkl晶面。 1简立方原胞基矢3、考虑晶格中的一个晶面ir(hkl )，证明：(a)倒格矢Ghhbi 1简立方原胞基矢 3、考虑晶格中的一个晶面 ir (hkl )，证明：(a)倒格矢Gh hbi kb 2 lb 3垂直于这个晶面; (b)晶格中相邻两个平行晶面的间距为dhkl (c) 对于简单立方晶格有 2 a T2 ~2 72。 h k l a a 证明：(a)晶面(hkl)在基矢ai、a2、a3上的截距为 —、一2 h k 岂。作矢量: ai a2 mi ,m2 h k mi Gh ai h a2 k hbi kb2 lb3 —r —* —*■ —■- ai a2 , a2 a3 2 h -- —s- h k ai a2 :a3 显然这三个矢量互不平行，均落在( , a3 ai 小， ai a2 小 k 2 l 0 ai a2 a3 ai a2 a3 —i —i ai a/2( i j k) —i a/2(j k) a2 —j a2 a/2(i j k) —2 a/2(k i) —3 ak a3 a/2(i j k) —3 a/2(i j) 体心立方原胞基矢 面心立方原胞基矢 2、试证面心立方的倒格子是体心立方 证：设与晶轴a、b、c平行的单位矢量分别为i、j、k。面心立方正格子的原胞基矢可取为 a1 a(j k),a2 — (k i ),a3 a(i j)由倒格子公式得 2 2 2 匕2邑 比]? 2邑—1],b3 2 [—1 —2]可得倒格基矢为： — 2 _ 2 2 bi —( i j k),b2 — (i j k),b3 — (i j k), a a a 同理，有 m2 Gh 0 , m3 Gh 0 (b)晶面族(hkl)的面间距为: a1d hklh a1 d hkl h Gh Gh a1 h hb1 kb2 lb3 2 Gh (c)对于简单立方晶格: d2h2 ak2l2122ar~27~272h k l按德拜模型，求出晶格热熔,并讨论高低温极限。4、一维简单格子，解：按照德拜模型，格波的色散关系为 w=vq。由图色散曲线的对称性可以看出， dw区间对 应两个同样大小的波矢区间 dq。2 /a对应L/a个振动模式，单位波矢区间对应有 L/2 d2 h2 a k2 l212 2 a r~27~272 h k l 按德拜模型，求出晶格热熔, 并讨论高低温极限。 4、一维简单格子， 解：按照德拜模型，格波的色散关系为 w=vq。由图色散曲线的对称性可以看出， dw区间对 应两个同样大小的波矢区间 dq。2 /a对应L/a个振动模式，单位波矢区间对应有 L/2个 振动模式，dw范围则包含dz 迴业 处 个振动模式，单位频率区间包含的模式数目定 2 义为模式密度，根据此定义可得模式密度为: D(w)虫 dw Wo o D(w)dw 由公式Cv wm k 0 L式中N为原子数，a为晶格常数，得 a 2 ew/kBTD (雲得其热熔量为 1 kBT w/kpT Cv Wm k 0 2 w kBT w/kpT e w/ kBT e B Wo L dq dw v 再利用 V Cv LkBT d/T x 2 ex dx其中 ex厂 在高温时x是小量，上式被积分函数 作变量变换x w得 Wo kB x z ex 1 因此，晶格的高温热熔量 CV ■— kB Nk B a 在低温时d/T,Cv中的被积函数按二项式展开成级数x 2e xex 1 在低温时 d/T ,Cv中的被积函数按二项式展开成级数 x 2 e x ex 1 z ne 1 nx 则积分 exx2dx 0 ex 2 此时期热熔量 3 Cv 5、模式密度计算 模式密度的一般表达式: 德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定频率正比于q。即cq代入①式，容易得到： 德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定频率正比于 q。即 cq V2 V 2 2c3 在q空间等频率面为球面，半径为: 在球面上, q (q) dq 2Cq 是一个常数，且球面积分为: ds q2，因此: ds 3 3 2 q 2 q ds -V 2 32cq4 卫rA 12③ 2 c3 圆半径为: 圆半径为: 二维情况模式密度 对于二维情况，q空间也约化为二维空间，其等频面实际为一个圆, 所以对于 n ) 2 ,(这里A为二维晶格的面积)，而且有: 2 3 =cq ,二维情况的模式密度为: dn A g()丁疋T dL (q) (2 ) 2Cq ( (3) 一维情况模式密度 同理，在一维情况下， q空间有两个等频点+q和-q。仿上面的方法可以得到: d n L g() 丁厂 dq q (q) (2 )2Cq L-- 2 —L ⑤ 2 、C 总之，色散关系为 V0 V